小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题11基本初等函数第七缉1．【2021年浙江预赛】已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)有两个不同的零点.若f(x2+2x−1)=0有四个不同的根x1<x2<x3<x4,且x1,x2,x3,x4成等差数列，求a−b的取值范围.【答案】答案见解析【解析】设f(x)的两个零点为s,t,其中s<t,则可知x1,x4为x2+2x−1−t=0的两根;x2,x3为x2+2x−1−s=0的两根,所以x1+x4=x2+x3=−2,x1x4=−1−t,x2x3=−1−s,又−a=s+t,b=st,所以a−b=−s−t−st=1−(1+s)(1+t),记x1=1−3d,x2=1−d,x3=1+d,x4=1+3d,其中d>0,a−b=1−x1x2x3x4=9d2(109−d2)≤259.2．【2021年广西预赛】设f(x)在区间I上有定义.对任意的x1,x2∈I,t(0≤t≤1).不等式f((1−t)x1+tx2)≤(1−t)f(x1)+tf(x2)总成立.设n≥2,1≤i≤n,xi∈I,pi≥0且∑i=1npi=1.证明f(∑i=1npixi)≤∑i=1npif(xi).【答案】证明见解析【解析】证明:(1)当n=2时，p1+p2=1.令p2=t,由题设条件可得命题成立.(2)假设当n=k时命题成立.则当n=k+1时，对于xi∈I(1≤i≤k+1)和满足∑i=1k+1pi=1的非负实数pi(1≤i≤k+1),令α=∑i=1kpi,β=1−α=pk+1.(2.1)若α=0,即p1=p2=⋯=pk=0,β=pk+1=1,则：f(∑i=1k+1pixi)=f(pk+1xk+1)=pk+1f(xk+1)=∑i=1k+1pif(xi).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2.2)若α>0,记m=min{x1,x2,⋯,xk},M=max{x1,x2,⋯,xk},x=1α∑i=1kpixi,则：m,M∈I,且m=m1α∑i=1kpi≤1α∑i=1kpixi≤M1α∑i=1kpi=M.因此，m≤x≤M,x∈I.因为α+β=1,所以f(αx+βxk+1)≤αf(x)+βf(xk+1).即f(∑i=1k+1pixi)≤αf(1α∑i=1kpixi)+pk+1f(xk+1).∑i=1kpiα=1α∑i=1kpi=1,由归纳假设有f(∑i=1kpiαxi)≤∑i=1kpiαf(xi),从而αf(1α∑i=1kpixi)≤∑i=1kpif(xi).于是,f(∑i=1k+1pixi)≤∑i=1k+1pif(xi).因此，当n=k+1时命题也成立.综上所述，命题成立.3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】对正整数n及实数x(0≤x<n),定义f(n,x)=(1−x)⋅Cn[x]+{x}Cn[x]+1,其中[x]表示不超过实数x的最大整数,x=x−[x].若整数m,n≥2满足f(m,1n)+f(m,2n)+⋯+f(m,mn−1n)=123,求f(n,1m)+f(n,2m)+⋯+f(n,mn−1m)的值.【答案】74【解析】对k=0,1,…,m−1,有∑i=1n−1❑f(m,k+in)=Cmk⋅∑i=1n−1(1−in)+Cmk+1⋅∑i=1n−1in=n−12⋅Cmk+Cmk+1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以,f(m,1n)+f(m,2n)+⋯+f(m,mn−1n)¿∑j=1m−1Cmj+∑k=0m−1∑i=1n−1❑f(m,k+in)¿2m−2+n−12⋅[∑k=0m−1Cmk+∑k=0m−1Cmk+1]¿2m−2+n−12⋅2m−1+2m−1=(2m−1)n−1.同理得f(n,1m)+f(n,2m)+⋯+f(n,mn−1m)=(2n−1)m−1.由条件知(2m−1)n−1=123,即(2m−1)n=124,故(2m−1)∨124.又m≥2,所以2m−1∈{3,7,15,31,63,127,…},仅当m=5时,2m−1=31为124的约数,进而有n=12431=4.进而f(n,1m)+f(n,2m)+⋯+f(n,mn−1m)=(24−1)⋅5−1=74.4．【2020年新疆预赛】已知函数f(x)的定义域为[0,1],f(0)=f(1),且对任意不同的x1,x2∈[0,1].都有¿f(x2)−f(x1)∨¿∨x2−x1∨¿,求证:¿f(x2)−f(x1)∨¿12.【答案】证明见解析【解析】证明设0⩽x1<x2⩽1.(1)若0<x2−x1⩽12,则¿f(xn)−f(xi)∨¿∨x2−x1∨⩽12,即¿f(x2)−f(xi)∨¿12;(2)若12<xz−x1<1,则¿f(x2)−f(x1)∨¿∨f(x2)+f(0)−f(1)−f(x1)∨¿∨f(x2)−f(1)+f(0)−f(x1)∨⩽¿f(x2)−f(1)∨+¿f(0)−f(x1)∨¿∨x2−1∨+¿x1−0∨¿，而¿x2−1∨+¿x1∨¿1−x2+x1=1−(x2−x1)<1−12=12，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com综上所述，对任意不同的x1,x2∈[0,1]都有¿f(x2)−f(x1)∨¿12.5．【2019年内蒙古预赛】求函数f(x)=∑k=12019❑∨kx−1∨¿的最小值【答案】198969238【解析】 f(x)=∑k=12019❑∨kx−1...