小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题35不等式第四缉1．【2015年山东预赛】已知x、y∈¿且满足x3+y3+3xy=1.则x2y的最大值为______【答案】427【解析】由已知得x3+3xy+y3−1=(x+y−1)(x2+y2−xy+x+y+1)=0.又x2+y2−xy+x+y+1≥xy+x+y+1>0，⇒x+y=1.故x2y=4×x2×x2(1−x)≤4[x2+x2+(1−x)3]3=427.当x=23,y=13时,x2y取得最大值427.2．【2015年江西预赛】满足❑√1−x2≥x的实数x的取值范围是_____________。【答案】[−1,❑√22]【解析】令y=❑√1−x2，此为单位圆的上半圆，其与直线y=x交于点(1❑√2,1❑√2)，半圆位于交点左侧的图像均在直线y=x上方.因此，x∈[−1,❑√22].3．【2015年江西预赛】若实数x、y、z≥0，且x+y+z=30，3x+y−z=50，则T=5x+4y+2z的取值范围是__________。【答案】[120,130]小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】注意到，T=5x+4y+2z=(x+y+z)+(4x+3y+z)=30+(4x+3y+z).由4x+2y=(x+y+z)+(3x+y−z)=80⇒T=110+(y+z).又20=(3x+y−z)−(x+y+z)=2(x−z)，则x−z=10.因为x、z≥0，所以，x≥10.故由x+y+z=30，知y+z≤20.于是，T=110+(y+z)≤130（当z=0，x=10，y=20时取等号）.再由4x+2y=80，y≥0，知x≤20.从而，y+z=30−x≥10.于是，T=110+(y+z)x≥120（当x=20，y=0，z=10时取等号）.因此，120≤T≤130.4．【2015年江苏预赛】设实数满足，且，则的最大值为________.【答案】【解析】试题分析：由0≤a,b≤8，且b2=16+a2，即b2−a2=16，也就是b216−a216==1.分别以，轴为横轴和纵轴，那么方程所表示的曲线为焦点在纵轴上的双曲线位于第一象限的部分双曲线弧，（包括纵轴上的点），令b−a=z,则b=a+z.由线性规划知识可知，当经过点(0,4)时，zmax=4−0=4，∴(b−a)max=4.考点：双曲线方程，线性规划的综合使用．【方法点晴】本题主要考查的是解析几何中双曲线的方程，特别是由限制条件下得出图形为双曲线的一部分而不是整个双曲线．设b−a为一个整体，巧妙得转化到线性规划的方法利用平行线与双曲线弧的位置关系来确定最大值，也可以用换元的方法来完成该题.在画图时要注意图形的准确性，不同直线的倾斜程度要表达出来．5．【2015年河南预赛】已知正实数满足，则的最小值为___________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】【解析】试题分析:因为,故应填答案.考点：基本不等式及灵活运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为=114[(a+1)+3(2+b)](11+a+42+b)=114[13+3(2+b)a+1+4(a+1)2+b]≥13+4√313,然后再运用基本不等式最后达到获解之目的.6．【2015年甘肃预赛】已知a、b为两个互相垂直的单位向量,且c⋅a=c⋅b=1.则对任意的正实数t,|c+ta+1tb|的最小值为______.【答案】2❑√2【解析】设c=λa+μb.则：c⋅a=λ|a|2+μa⋅b=λ=1,c⋅b=λa⋅b+u∨b¿2=μ=1.于是,c=a+b故c2=(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=2.又|c+ta+1tb|2=(c+ta+1tb)2¿c2+t2a2+1t2b2+2tc⋅a+2tc⋅b+2ta⋅1tb小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com¿2+t2+1t2+2t+2t=(t+1t+1)2−1≥(2+1)2−1=8(t>0),从而,|c+ta+1tb|≥2❑√2,当t=1时,以上各式等号成立.因此,所求最小值为2❑√2.7．【2015年甘肃预赛】设x、y为正实数,且x+y=1.则x2x+2+y2y+1的最小值为______.【答案】14【解析】由柯西不等式得x2x+2+y2y+1≥(x+y)2x+2+y+1=14，当且仅当x2x+2x+2=y2y+1y+1⇔x=2y，即y=13,x=23时,等号成立.8．【2015年福建预赛】已知实数x、y、z满足x2+2y2+3z2=24.则x+2y+3z的最小值为__________.【答案】−12【解析】由柯西不...