小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题33不等式第二缉1．【2018年贵州预赛】若实数a使得不等式|x−2a|+|2x−a|≥a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】[−32，32]【解析】设x=ka（k∈R），则|ka−2a|+|2ka−a|≥a2，即对∀k∈R，恒有|k−2|+|2k−1|≥|a|⇔|k−2|+|2k−1|sin≥|a|，而|k−2|+|2k−1|min=32，所以|a|≤32⇔a∈[−32，32]．故答案为：[−32，32]2．【2018年广西预赛】设a∈R，若x>0时均有(x2+ax−5)(ax−1)≥0成立，则a=¿______．【答案】12【解析】当a=0时，显然不能使原不等式对任意的x>0恒成立.因此a≠0.注意到y=x2+ax−5的开口向上，所以必然要求a>0.对于方程x2+ax−5=0，设其两根为x1、x2，且x1<0，x2>0，令x3=1a.由x>0时，原不等式恒成立，可知x2=x3，故−a+❑√a2+202=1a.解得a=12.3．【2018年湖北预赛】设正实数x、y满足x2+y2+1x+1y=274，则P=15x−34y的最小值为______.【答案】6【解析】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由三元均值不等式，可得x2+1x=(x2+8x+8x)−15x≥33√x2⋅8x⋅8x−15x=12−15x,①y2+1y=(y2+18y+18y)+34y≥33√y2⋅18y⋅18y=34+34y.②当且仅当x=2时，①中等号成立；当且仅当y=12时，②中等号成立.①+②，得x2+y2+1x+1y≥514+(34y−15x).又已知x2+y2+1x+1y=274，故514+(34y−15x)≤274，整理得15x−34y≥6.当且仅当x=2,y=12时等号成立.所以，P=15x−34y的最小值为6.4．【2018年甘肃预赛】设x,y满足¿只在点A(2,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是______．【答案】−12<a<2【解析】画出平面区域如下：由数形结合可得−2←a<12，即−12<a<2．5．【2018年甘肃预赛】若正实数x,y满足y>2x，则y2−2xy+x2xy−2x2的最小值是______．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】4【解析】y>2x得yx>2，设t=yx（t>2），则y2−2xy+x2xy−2x2=(yx)2−2yx+1yx−2¿t2−2+1t−2=(t−2)+1t−2+2≥2❑√(t−2)⋅1t−2+2=4，当且仅当t=3时等号成立，故y2−2xy+x2xy−2x2的最小值是4．6．【2018年吉林预赛】若实数a,b满足¿，则a+2b2a+b的最大值为_________.【答案】75【解析】试题分析：由a+2b2a+b=12(2a+b)+32b2a+b=12+32b2a+b=12+322ab+1知，可行域内一点与原点连线的斜率最大时，a+2b2a+b最大，由¿，此时ab有最小值13，得a+2b2a+b最大值，所以答案应填：．考点：线性规划．7．【2018年天津预赛】实数x、y满足x2+y2=20，则xy+8x+y的最大值是____________【答案】42【解析】注意xy≤14x2+y2，8x≤x2+16，y≤14y2+1，这三者相加即得xy+8x+y≤54(x2+y2)+17=42.当x=4，y=2时等号成立，所以xy+8x+y的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式(xy+8x+y)2≤(x2+82+y2)(y2+x2+12)=84×21=422，得到最大值为42.故答案为：42小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com8．【2018年河南预赛】已知a、b、c均为正数，则min{1a,2b,4c,3√abc}的最大值为______．【答案】❑√2【解析】记M=min{1a,2b,4c,3√abc}，那么M≤1a，M≤2b，M≤4c，于是M3≤8abc，得3√abc≤2M．①又M≤3√abc．②由①②可得M≤2M，所以M≤❑√2，即Mmax=❑√2，当且仅当c=2b=4a=2❑√2时取得．9．【2018年河北预赛】若实数x、y、z满足x2+y2+z2=3，x+2y−2z=4，则zmax+zmin=¿_____.【答案】−169【解析】由柯西不等式得(x2+y2)(1+22)≥(x+2y)2，由已知得x2+y2=3−z2，(x+2y)2=(4+2z)2，所以有5(3−z2)≥(4+2z)2，化简得9z2+16z+1≤0，即Zmax、Zmin为方程9z2+16z+1=0的两根，由韦达定理得Zmax+Zmin=−169.10．【2018年河北预赛】已知x⩾1，y⩾1且lg2x+lg2y=lg10x2+lg10y2，则u=lgxy的最大值为________.【答案】2+2❑√2【解...