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2013年上海高考文科数学试题及答案一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.不等式的解为.2.在等差数列中,若,则.3.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则.4.若,,则.5.已知的内角、、所对的边分别是,,.若,则角的大小是(结果用反三角函数值表示).6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为.7.设常数.若的二项展开式中项的系数为-10,则.8.方程的实数解为.9.若,则.10.已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则.11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).12.设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为.13.设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为.14.已知正方形的边长为1.记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若且,则的最小值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.函数的反函数为,则的值是()(A)(B)(C)(D)16.设常数,集合,.若,则的取值范围为()(A)(B)(C)(D)17.钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件18.记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则()A.0B.C.2D.三.解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.第19题图OBAC20.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为;(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.21.(本题满分14分)本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数,其中常数.(1)令,判断函数的奇偶性并说明理由;(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.22.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数.无穷数列满足.(1)若,求,,;(2)若,且,,成等比数列,求的值;(3)是否存在,使得,,,…,…成等差数列?若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由.23.(本题满分18分)本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;(3)求证:圆内的点都不是“型点”.参考答案一、填空题1.2.153.4.15.6.787.8.9.10.11.12.13.14.二、选择题15.A16.B17.A18.D三、解答题19.20.解:(1)每小时生产克产品,获利,生产千克该产品用时间为,所获利润为.(2)生产900千克该产品,所获利润为所以,最大利润为元。21.法一:解:(1)是非奇函数非偶函数。∵,∴∴函数是既不是奇函数也不是偶函数。(2)时,,,其最小正周期由,得,∴,即区间的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点;故当时,21个,否则20个。法二:22.23.

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