免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com专题03函数与方程的综合应用问题【题型归纳目录】题型一：零点问题题型二：函数嵌套问题题型三：共零点问题题型四：等高线问题【典型例题】题型一：零点问题例1．（2022·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（）A．-4B．-5C．-6D．-7【答案】A【解析】因为元二次方程有两个实数根，，且，令，则由题意可得，即解得，又，可得.故选：A.例2．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在上的函数的图像连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是“回旋函数”．若函数是“回旋函数”，且，则在上（）A．至多有2022个零点B．至多有1011个零点C．至少有2022个零点D．至少有1011个零点【答案】D【解析】因为对任意的实数恒成立，令，得．若，则与异号，即，由零点存在定理得在上至少存在一个零点．由于，得到，进而，所以在区间，，…，内均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有1011个零点.若，则，此时在上至少有1012个零点．综上所述，在上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C错误，D正确；可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B错误；对于A,[解法一]取函数，满足，但在上处处是零点，故A错误.[解法二]构造函数，满足对任意的实数恒成立，是“回旋函数”，在上恰好有2023个零点，故A错误.故选：D．例3．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设，，，，所以问题可转化为直线与，，的图象的交点问题，函数图象如下．由图知．故选：A．变式1．（2022·全国·高一课时练习）函数的零点个数为________．【答案】1【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有一个零点，故答案为：1解法二： ，，∴，又的图象在上是不间断的，∴在上必有零点，又在上是单调递增的，∴函数的零点有且只有一个，故答案为：1变式2．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．【答案】【解析】设，则，则，设，则，则，则，则，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com函数图象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，则仅有一根，又，，则，解之得，故答案为：.变式3．（2022·天津·高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义在R上的函数满足，所以，即是周期为2的函数，由，可得，因为在区间上函数恰有4个不同的零点，所以函数与的图象在区间上有4个交点，作出函数与的大致图象，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com由图象可知，解得，即实数m的取值范围为.故选：D.题型二：函数嵌套问题例4．设函数，是函数的所有零点中的最大值，若，，则．【解析】解：函数，当时，；作函数的图象如下：解，得到或，又是函数的所有零点中的最大值，所以，且（2），（3），因为，，所以，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com故答案为：2．例5．已知函数，则函数的零点个数为A．4B．7C．8D．9【解析】解：令，解得或，则令，可得或，作出函数的图象如图所示，由图象可知，有3个零点，有3个零点，有1个零点，故函数有7个零点．故选：．例6．设函数，，，求函数的单调递增区间．【解析】解：令得，，或；当，或时，，当时，；；（1）当时，函数为减函数；（2）当时，令，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com设，则：，，；时，，为...