第1页共4页2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合230,0,1,2,4,xAxxB则AB（）A.0,1B.1,2C.0,4D.1,2,42.若2i3izz，则z（）A.1iB.1iC.1iD.1i3.已知向量,ab满足||2,||1ab，若向量a在向量b上的投影向量为3b，则,ab（）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π124.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定//mn的一组条件是（）A.,,m//nB.//mn,,C.,//mn,D.//mn,,5.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3306.已知A，B是圆O:221xy与x轴的两个交点，动点M满足2MAMB，记点M的轨迹为E，则（）A.E与圆O相切B.E是两条平行的直线C.MAB的最大值为π4D.E上的点到原点O的距离的最大值为67.已知1sin22cos2，则tan2（）第2页共4页A.3B.43C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A是双曲线C右支上一点，若222FBFAuuuruuur，120FBFB，且2FBa，则双曲线C的离心率为（）A.72B.233C.512D.322二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x，2x，L，10x是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()fxAx（0A，0，π||2）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1fB.()fx在区间4π11π,36上单调递减C.()fx在区间π,2π2上有3个极值点D.将()fx的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O对称11.已知定义在R上的函数()fx满足(1)1f，()()()()()fxyfxfyfxfy，当0x时，()0fx，则（）A.(0)0fB.3(2)4fC.()fx在(0,)上单调递增D.101()2024ifi三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆2211xmym的离心率为32，则m_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为______.第3页共4页14.记min{,,}abc为,,abc中最小的数.设0x，0y，.则11min2,,xyyx的最大值为________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数2()exfxxaxb的图象在点(0,(0))f处的切线方程为21xy0.（1）求a，b的值；（2）求()fx的单调区间与极值.16.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X，求X的分布列和数学期望()EX.17.如图，在直三棱柱111ABCABC中，5ABAC,122BCBB，P为11BC的中点.（1）证明:1ABCP.（2）若1BQQA...