数学答案第1页（共4页）2025年合肥市高三第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.A3.C4.A5.D6.B7.C8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.AB10.ABD11.AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.80−13.51814.22四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）【解析】（1）因为2cosabcB+=，所以sinsin2sincosABCB+=，即()sinsin2sincosBCBCB++=，即()sinsinBCB=−所以CBB−=，或CBB−+=（舍去）所以2CB=.…………………………………6分（2）由（1）知2CB=，3AB=−，所以022B，032B−，故,64B，则()22sinsin222,23sinsinsintancCBbBBBB===.…………………………………13分注：其他解法酌情给分.16.（15分）【解析】（1）如图所示，过点1B作1BE∥1CC，交BC于点E，在正三棱台111ABCABC−中，四边形11BECC为平行四边形．因为12BE=，4EC=，所以2BE=．又12BB=，所以22211BEBBBE+=，即11BEBB⊥．故11CCBB⊥，同理可得11CCAA⊥．又直线1AA与1BB相交，所以1CC⊥平面11AABB．…………………………………6分（2）以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．取线段11AB中点F，因为()3,0,0A−，()3,0,0B，()0,33,0C．所以()6,0,0AB=，()3,33,0BC=−．由条件可知3260,,33F，则113261,,33BBBFFB=+=−．设平面11AABB的法向量为1(,,)nxyz=，则11100ABnBBn==，即60326033xxyz=−++=，取1z=，则22y=−，数学答案第2页（共4页）故1(0,22,1)n=−．设平面11BBCC的法向量为2(,,)nmnt=，则21200BCnBBn==，即3330326033mnmnt−+=−++=，取3m=，则1n=，22t=，故223,1,2n=．所以11122222212cos,31||||81312nnnnnn−+===−+++．所以平面11AABB与平面11BBCC夹角的余弦值为13．…………………………………15分注：其他解法酌情给分．17.（15分）【解析】（1）函数()fx定义域为()0,+，且0a，()2221axxafxaxaxx−+−=−−=，令()2gxaxxa=−+−，当2104a−，即12a时，()0gx恒成立，则()0fx，所以()fx在()0,+上是单调递减；当2104a−，即102a时，函数()gx有两个零点：211142axa−−=，221142axa+−=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表所示：x()10,x1x()12,xx2x()2,x+()fx−0+0−()fx单调递减()1fx单调递增()2fx单调递减所以，当102a时，()fx在22114114,22aaaa−−+−内单调递增，在21140,2aa−−和2114,2aa+−+上单调递减；当12a时，()fx在()0,+上单调递减．…………………………………7分（2）由（1）知，当102a时，()fx有两个极值点1x，()212xxx，则1x，2x是方程()0gx=的两个根，由韦达定理，得121211,xxxxa=+=．所以1201xx，()()()()111122111fxfxfxxfxaffxaf++=++=+数学答案第3页（共4页）211lnln1aaaaaa=−−=−−+．令()2ln1hxxx=−−+，102x，则()21221hxxxxx=−+=−，当102x时，()0hx，则()hx在区间10,2上是单调递减，从而()123ln24hxh=−，故()()()12123ln24fxfxfxx+−++．…………………………………15分注：其他解法酌情给分．18.（17分）【解析】（1）设圆1C，2C的交点为M，则11MCr=，22MCr=，因为1223rr−=，所以1212234MCMCCC−==，故点M的轨迹（曲线T）是以1C，2C为焦点的双曲线，从而22223,4aab=+=，即3,1ab==，故曲线T的方程为2213xy−=．…………………………………4分（2）（i）要证1122PQPQ=，只要证线段12PP的中点与线段12QQ的中点重合．设()()111222,,,PxyPxy，其中120x...