小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第9讲函数的对称性【知识点1】判断函数的对称性....................................................1【知识点2】利用对称性求函数值或解析式..........................................5【知识点3】对称性与奇偶性、周期性的综合应用....................................8【知识点4】利用对称性解不等式或方程...........................................131．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．知识点目录基础知识知识点1知识点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【知识点1】判断函数的对称性1.轴对称：验证是否对某常数a恒成立．若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．2.中心对称：验证是否对某常数a,b恒成立．若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．技巧：二次函数必关于对称．三次函数必关于其拐点中心对称．例1：【例1】（2025•四川模拟）已知函数，则函数的图象A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【答案】【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果．【解答】解：因为，则为奇函数，函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数的图象关于点对称．典型例题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：．【例2】（2024春潮阳区期中）定义在•上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是A．B．C．（4）D．（6）【答案】【分析】根据，令，可求得（2），再根据函数的对称性可得（6）及，再令，可求得，即可得出答案．【解答】解：因为函数满足，所以（2）（2），所以（2），又的图象关于直线对称，所以（6）（2），且，则，所以，所以，无法求出，（4）．故选：．【例3】（2025•苏州三模）已知函数，定义域为的函数满足小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，则A．0B．4C．8D．12【答案】【分析】先判断函数与的图象都关于对称，然后结合对称性即可求解．【解答】解：因为，显然为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，因为，则的图象也关于对称，则与的交点也关于对称，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，则．故选：．【例4】（2024秋衢州期末）已知函数•的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是A．B．C．D．【答案】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】令，然后判断的奇偶性，进而可求的对称性．【解答】解：令则，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于对称．故选：．【例5】（2024•泸州模拟）已知函数满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，，，则A．B．C．D．0【答案】【分析】依题意可得，即可得到函数的图象关于对称，再根据对称性计算可得结论．【解答】解：因为，所以，所以函数的图象关于对称，又函数关于对称，则与的交点应为偶数个，且关于对称，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以．故选：．【知识点2】利用对称性求函数值或解析式1.利用对称性建立等式：若关于对称，则，代入已知点求未知值．若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．2.对称变换法：若关于对称，则（g为偶函数）．若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．例1：【例6】...