小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第4讲基本不等式【知识点1】基本不等式的理解及常见变形..........................................2【知识点2】利用基本不等式求最值................................................3【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题....................................4【知识点4】基本不等式的实际应用................................................5【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题..................................71．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．知识点目录基础知识小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com以上不等式等号成立的条件均为a＝b.【知识点1】基本不等式的理解及常见变形基本不等式的常见变形(1)ab≤2≤.(2)≤≤≤(a>0，b>0)．例1：【例1】（2022秋射阳县校级月考）若•，且，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【例2】（2024秋城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法•是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于点，连接，，，过点作的垂线，垂足为点，则该图形可以完成的无字证明为A．B．知识点1典型例题知识点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC．D．【例3】（2021秋浙江月考）已知命题•，命题，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【例4】（2022秋三水区校级月考）设•，，则下列不等式中一定成立的是A．B．C．D．【例5】（2025•河北模拟）已知，，，则的最小值为A．2B．C．4D．9【知识点2】利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．知识点2知识点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例1：【例6】（2025•五华区模拟）已知，，且，则的最小值为A．4B．8C．16D．32【例7】（2025•广东模拟）若，，且，则的最小值为A．2B．C．3D．【例8】（2024秋漯河期末）已知实数•，，且，则的最小值为A．B．C．8D．12【例9】（2025春深圳期中）函数•的最小值为A．2B．3C．4D．5【例10】（2025•新疆校级一模）已知，则的最小值为A．3B．4C．D．6知识点3典型例题知识点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.例1：【例11】（2024秋郑州期末）设正数•，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．【例12】（2025•宜春校级开学）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为．【例13】（2024秋红河州期末）已知•，为正实数，且满足，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为，．【例14】（2024秋榆林期末）已知•，，且，则下列不等式恒成立的是A．B．C．D．【例15】（2024•湖南学业考试）已知，，，若不等式恒典型例题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com成立，则...