小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第4讲基本不等式【知识点1】基本不等式的理解及常见变形..........................................2【知识点2】利用基本不等式求最值................................................5【知识点3】与基本不等式有关的恒(能)成立问题....................................8【知识点4】基本不等式的实际应用...............................................11【知识点5】基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................151．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．知识点目录基础知识小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com以上不等式等号成立的条件均为a＝b.【知识点1】基本不等式的理解及常见变形基本不等式的常见变形(1)ab≤2≤.(2)≤≤≤(a>0，b>0)．例1：【例1】（2022秋射阳县校级月考）若•，且，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】【分析】举反例，可判断错误，利用基本不等式可判断正确．【解答】解：对于，若，，则，故错误，对于，若，，则，故错误，对于，，，，又，，故正确，对于，若，，则，故错误，故选：．知识点1典型例题知识点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【例2】（2024秋城西区校级月考）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法•是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于点，连接，，，过点作的垂线，垂足为点，则该图形可以完成的无字证明为A．B．C．D．【答案】【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明，选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断，选项．【解答】解：由为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，可知，由△△可知，即，所以；在△中，，即当时，，点重合，，此时，所以错误；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在△中，△△可得，所以，由于，所以，当时，，此时，所以正确；由于在该图中没有相应的线段与之对应，故，中的不等式无法证明．故选：．【例3】（2021秋浙江月考）已知命题•，命题，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】命题，可解决此题．【解答】解：命题，对任意、都成立，是成立的充分不必要条件．故选：．【例4】（2022秋三水区校级月考）设•，，则下列不等式中一定成立的是A．B．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC．D．【答案】【分析】利用基本不等式，分别判断，再用作差法判断．【解答】解：，，，当且仅当，且，即时取等号，故正确；，，故正确；，，当且仅当时取等号，不一定成立，故错误；，当且仅当时，取等号，故正确．故选：．【例5】（2025•河北模拟）已知，，，则的最小值为A．2B．C．4D．9【答案】【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值．【解答】解：由，，，得，当且仅当且，即时取等号．故选：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【知识点2】利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为...