小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com黄金冲刺大题07新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）1．（2024·辽宁·二模）已知数列的各项是奇数，且是正整数的最大奇因数，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求数列的通项公式.【答案】(1)，(2)，，(3)【分析】（1）根据所给定义直接计算可得；（2）根据所给定义列出，即可得解；（3）当为奇数时，即可求出，当为偶数时，从而得到，即可推导出，再利用累加法计算可得.【详解】（1）因为，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又，所以；（2）依题意可得，，，，，，，所以，，.（3）因为是正整数的最大奇因数，当为奇数，即时，所以，当为偶数，即时，所以当时，所以，所以且，所以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，当时也满足，所以数列的通项公式为.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解定义，第三问关键是推导出且，最后利用累加法求出.2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列，求证:.【答案】(1).(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得充分性成立；再由是递减数列，得到，结合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得证；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）根据题意，得到，得出，得到，不妨设，则，推得为奇数，矛盾，进而得证.【详解】（1）解：由题意，数列，可得，所以集合，所以.（2）证明：充分性：若为等差数列，且是递减数列，则的公差为，当时，，所以，则，故充分性成立.必要性:若是递减数列，，则为等差数列，因为是递减数列，所以，所以，且互不相等，所以，又因为，所以且互不相等，所以，所以，所以为等差数列，必要性成立.所以若是递减数列，“”的充要条件是“为等差数列”.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）证明：由题意集合中的元素个数最多为个，即，对于数列，此时，若存在，则，其中，故，若，不妨设，则，而，故为偶数，为奇数，矛盾，故，故，故由得到的彼此相异，所以.3．（2024·广西·二模）已知函数，若存在恒成立，则称是的一个“下界函数”．(1)如果函数为的一个“下界函数”，求实数的取值范围；(2)设函数，试问函数是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)函数F(x)是否存在零点，理由见解答【分析】（1）把恒成立问题转换为求的最小值问题，利用导数求出最小值即可；（2）把函数整理成，要判断是否有零点，只需看的正负问题，令，利用导数分析即可.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【详解】（1）由恒成立，可得恒成立，所以恒成立,令，所以，当时,，在单调递减；当时,，在单调递增；所以的最小值为，所以，实数t的取值范围；（2）由（1）可知，所以，所以，①又，所以，令，所以，当时,，在单调递减；当时,，在单调递增；所以，②所以，又①②中取等号的条件不同，所以所以函数没有零点.4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；(2)对于正整数时，是否有成立？(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.【答案】(1)(2)成立(3)证明见解析【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得；（2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论.【详解】（1）...