高三数学答案第1页（共8页）2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案）2024.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBABCDAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011答案BCDABDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1y或3450xy13．1914．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）【法一】（1）证明：在直棱柱111CBAABC中，1BB面ABC，则面11BBCC面ABC，……2分面11BBCC面ABCBC，AB面ABC，BCAB，所以AB面11BBCC.……4分因为11//BAAB，所以11BA面11BBCC.则1AC在面11BBCC的射影为1BC，在正方形11BBCC中，有.11CBBC所以由三垂线定理得：.11CABC……6分（2）解：直三棱柱111ABCABC-的体积为111121122VABBCAAAA，则11AA.……7分高三数学答案第2页（共8页）由（1）11BA平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则11BA1BC，在正方形11BBCC中，1BC1BC，且111ABBC，平面CBA11，1111ABBCB，所以1BC平面CBA11.……8分设11BCBCO，在△11ABC中，过O作CAOH1于H，连接BH.因为OH为BH在面11ABC的射影，由三垂线定理得：CA1.BH所以BHO为二面角11BABC的平面角.……10分因为Rt△COH∽Rt△11CAB，111BACAOHCO，得33OH，又在Rt△BOH中，22BO，得630BH，……12分.51063033cosBHOHBHO所以二面角BCAB11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABCABC-的体积为：111121122VABBCAAAA，则11AA.……1分（1）证明：直棱柱111ABCABC，1BB平面ABC，又ABBC，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系.…2分(0,0,0)B，1(0,0,1)B，(1,0,0)C，1(0,2,1)A，1(1,0,1)C.1(1,0,1)BC，1(1,2,1)AC，……4分高三数学答案第3页（共8页）11110(2)1(1)0BCAC，所以.11CABC……6分（2）(0,0,0)B，1(0,0,1)B，(1,0,0)C，1(0,2,1)A，1(1,0,1)C.(1,0,0)BC，1(0,2,1)BA，设平面1BCA的法向量1111(,,)xyz，则111111020BCxBAyz，，取11y，得1(0,1,2).……8分1(1,0,1)BC，11(0,2,0)BA，设面11BCA的法向量2222(,,)xyz，则21222112020BCxzBAy，，取21x，得2(1,0,1).……10分设二面角11BABC的大小为，则：121212|||2|10|cos||cos,|552.……12分因为为锐角，所以二面角11BABC余弦值为510.……13分16.（15分）（1）解：提出假设0H：是否喜爱阅读与性别没有关系．……3分根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.7252.70625252327，……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关.……7分（2）随机变X服从超几何分布(3,2,6)H，X可能取0，1，2.……8性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750……2分高三数学答案第4页（共8页）分0324361(0)5CCPXC，1224363(1)5CCPXC，2124361(2)5CCPXC.……11分则X的分布列为：X012P153515所以131()0121555EX.……14分答：抽取男生人数的数学期望为1．……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)，当0a时，e1()xfxx.要证()1fx，只需证：当0x时，e1xx.……1分令()e1xpxx，则()e10xpx，则()px在(0,)x单调递增，……3分所以()(0)0pxp，即e1xx.……5分（2）2(1)e1()xxafxxx1(1)e1xxaxx，……6分令(1)e1()(1)xxgxaxx，则2222e(1)1(1)110xxxxxxgxxxx.所以()gx在(1,)单调递增，()(1)1gxga，……8分①当1a…时，()(1)10gxga…，()0fx.则()fx在(1,)为增函数，()fx在(1,)上无极值点，矛盾.……11分②当1a时，(1)10ga.由（1）知，e1xxx，高三数学答案第5页（共8页）(1)e1(1)e(1)()1xxxxxxgxaaaxaxxx，则(1)0ga，则0(1,1)xa...