山西大学附中2025～2026学年高三年级第二学期3月模块诊断数学试题考试时间：120分钟满分：150分命题人：闫芙蓉一、单选题（本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（）A.中位数B.众数C.平均数D.方差2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.3．若复数满足(为虚数单位)，则（）A．1B．C．D．4.已知集合，则（）A.-2B.C.D.15.函数在区间上的图象可能是（）A.B.C.D.6.已知是等比数列，若，，则（）AB.C.D.7.米斗是称量粮食量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（）AB.C.D.8.已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则试卷共4页，第1页的最大值为（）A.6B.12C.24D.32二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（）A．没有空盒子的方法共有16种B．有空盒子的方法共有256种C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种10.椭圆上动点M与点的距离的最小值为，则a的值可以是（）A.B.C.D.11.记内角，，的对边分别是，，，已知，则下列选项正确的是（）A.B.角的最大值为C.D.的取值范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答）13．若直线平分圆的周长，则的最小值为_____.14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为．试卷共4页，第2页四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知函数，．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值．16.已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．（1）求实数的值；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．17．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.（1）求的标准方程；（2）若（不在直线上），证明：直线过定点.试卷共4页，第3页18.某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：测试指标元件数（件）21836404（1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．（i）若，证明：；（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）19．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.（1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面；（2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围；（3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：.试卷共4页，第4页