数学参考答案第1页（共7页）北京市东城区2024—2025学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准2025.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）C（6）C（7）A（8）A（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）22（12）22；0（13）2（答案不唯一）（14）2；54（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1bc−=，所以bc.所以C为锐角．因为7sin4C=，所以3cos4C=．由余弦定理2222coscababC=+−，得22(1)369bbb−=+−.解得5b=.△ABC的面积1157sin24SabC==.………………………7分（Ⅱ）由6,5ab==，1bc−=，得4c=.2222225461cos22548bcaAbc+−+−===.因为C为锐角，所以2(0,)C.又21cos212sincos8CCA=−==由(0,)A，所以2AC=.………………………13分数学参考答案第2页（共7页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为平行四边形，所以BCAD.因为AD平面ADE，BC平面ADE，所以BC平面ADE.因为BFDE，DE平面ADE，BF平面ADE，所以BF平面ADE.因为BCBFB=，所以平面BCF平面ADE.因为FC平面BCF，所以FC平面ADE.………………5分（Ⅱ）选条件①：AECD⊥.因为平面ADE⊥平面CDE,平面ADE平面CDEDE=，ADDE⊥，AD平面ADE，所以AD⊥平面CDE.因为CD平面CDE，所以ADCD⊥.因为AECD⊥，ADAEA=，所以CD⊥平面ADE.所以CDDE⊥.如图建立空间直角坐标系Dxyz−，设BFt=，则(1,0,0)A，(0,1,0)C，(0,0,1)E，(1,1,)Ft.所以(1,1,0)AC=−，(0,1,)AFt=.设平面AFC的法向量为(,,)xyz=m，则0,0,ACAF==mm即0,0.xyytz−+=+=令1z=−，则yt=，xt=.于是(,,1)tt=−m.由于(1,0,1)AE=−，点E到平面AFC的距离d为62，所以222||(1)01(1)|6||2(1)AEttdtt−++−===++−m|m，解得12t=.所以BF的长为12.………………14分选条件②：ACCE=．因为平面ADE⊥平面CDE，平面ADE平面CDEDE=，ADDE⊥，AD平面ADE，所以AD⊥平面CDE.所以ADCD⊥.所以o90ADC=.因为ADED=，ACEC=，DCDC=，所以ADCEDC.所以o90ADCEDC==.所以CDDE⊥.以下同选条件①.………………14分数学参考答案第3页（共7页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）在华东地区的6个省份中，水稻产量比小麦产量少的省份有安徽省和山东省，所以在华东地区的6个省份中随机抽取一个省份，该省水稻产量比小麦产量少的概率为2163=.………………4分（Ⅱ）在表1中水稻的播种面积排在前5名的省份是江西省、黑龙江省、安徽省、江苏省和吉林省，其中属于东北地区的省份是黑龙江省和吉林省.设X为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数，由题设，X的所有可能值为0，1，2.()27297012CPXC===；()1172297118CCPXC===；()22291236CPXC===.X的分布列为：X012P712718136因为()()()()001122EXPXPXPX==+=+=，所以()EX77140121218369=++=.………………10分（Ⅲ）acb.………………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意，得2221,6,3.bcaabc===+解得23a=．所以椭圆E的方程为2213xy+=．………………5分数学参考答案第4页（共7页）（Ⅱ）由点(,)Amn(0)n有(,)Bmn−，且2213mn+=．又,(01)OHOA=，有(,)Hmn.因为过点H与x轴平行的直线交E于点,PQ，设(,)PPxn，(,)PQxn−，则22()13Pxn+=．因为点B在以PQ为直径的圆上，所以0BPBQ⎯⎯→⎯⎯→=.即2()()[(1))]0PPxmxmn−−−++=.所以2222(1)0Pmxn−++=.因为2233mn=−，22233Pxn=−，所以22222223333(1)(422)0nnnn−−+++=+−=.由0n及01，有12=.即点B在以PQ为直径的圆上时，12=．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由()(2)exfxxaxb=−++得(0)2fb=−，()(1)exfxxa=−+，(0)1fa=−．由题设知10,20ab−=−=，解得1,2ab==．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(2)e2xfxxx=−++，()(1)e1xfxx=−+．令()(1)e1xxx=−+，则'()exxx=．'()x与()x的变化情况如下表：数学参考答案第5页（共7页）x(,0)−0(0,)+'()x−0+()x↘0↗当0x=时，()x取得最小值(0)0=，即当Rx时，()0fx≥.因此()fx在...