第1页，共7页2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一下学期4月期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知𝑧=−1+𝑖，则𝑧在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设𝑎，𝑏是向量，则“(𝑎+𝑏)⋅(𝑎−𝑏)=0”是“𝑎=−𝑏或𝑎=𝑏”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑎=3，𝑏=4，𝐶=60∘，则𝑐的值为()A.13B.13C.19D.194.若向量𝑎=(2,1)，𝑏=(1,0)，则向量𝑏在向量𝑎上的投影向量为()A.255B.(4,2)C.(455,255)D.(45,25)5.已知向量𝑎，𝑏满足|𝑎|=5，|𝑏|=6，𝑎⋅𝑏=6，则cos<𝑎，𝑎−𝑏>=()A.−3135B.−1935C.1735D.19356.相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼(如图(1))，如图(2)，为了测量该楼的高度𝐴𝐵，一研究小组选取了与该楼底部𝐵在同一水平面内的两个测量基点𝐶与𝐷，现测得∠𝐵𝐶𝐷=30∘，∠𝐶𝐷𝐵=45∘，𝐵𝐷=10𝑚，在𝐶点处测得该楼顶端𝐴的仰角为60∘，则该楼的高度𝐴𝐵为()A.106(𝑚)B.102(𝑚)C.103(𝑚)D.203(𝑚)7.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰𝐴𝐵边旋转一周得到一个圆台，已知∠𝐴𝐵𝐶=45∘，𝐴𝐷=𝐴𝐵=12𝐵𝐶=1，则该圆台的体积为()第2页，共7页A.73𝜋B.7𝜋C.143𝜋D.14𝜋8.已知⊙𝑂的半径为1，直线𝑃𝐴与⊙𝑂相切于点𝐴，直线𝑃𝐵与⊙𝑂交于𝐵，𝐶两点，𝐷为𝐵𝐶的中点，若|𝑃𝑂|=2，则𝑃𝐴⋅𝑃𝐷的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在下列各组向量中，可以作为基底的是()A.𝑎=(−3,2)，𝑏=(6,−4)B.𝑎=(2,3)，𝑏=(3,2)C.𝑎=(1,−2)，𝑏=(7,14)D.𝑎=(−2,3)，𝑏=(4,6)10.下列命题正确的是()A.复数2−2𝑖的虚部为−2𝑖B.若𝑧1，𝑧2是复数，则|𝑧1⋅𝑧2|=|𝑧1|⋅|𝑧2|C.若𝑧1，𝑧2是复数，|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1−𝑧2|，则𝑧1⋅𝑧2=0D.复平面内满足条件|𝑧+𝑖|≤2的复数𝑧所对应的点𝑍的集合是以点(0,−1)为圆心，2为半径的圆面．11.下列命题错误的是()A.用平面去截一个棱锥，则截面与底面之间的部分为棱台．B.若向量𝑎=(𝑥,3)，𝑏=(2,−1)的夹角为钝角，则𝑥<32．C.若𝐵=𝜋3，𝐵𝐶=23且△𝐴𝐵𝐶有两解，则𝐴𝐶的取值范围是(3,23).D.设点𝑂是△𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，若𝑂𝐴+2𝑂𝐵+3𝑂𝐶=0，则△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝐵𝐶的面积之比为1:3．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知长方体的长宽高分别为3，4，5，则该长方体的外接球的表面积是．13.已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，点𝑃满足𝐴𝑃=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶)，则|𝑃𝐷|=．14.已知▵𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐵𝐶上，∠𝐴𝐷𝐵=120∘,𝐴𝐷=2,𝐶𝐷=2𝐵𝐷.当𝐴𝐶𝐴𝐵取得最小值时，𝐵𝐷=．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量𝑎=(1,𝑘)，𝑏=(2,𝑘−2)，第3页，共7页(1)若(𝑎+𝑏)//𝑎，求实数𝑘;(2)若(𝑎−2𝑏)⊥𝑎，求实数𝑘．16.(本小题15分)已知复数𝑧1=3+4𝑖，𝑧2=1−𝑎𝑖(𝑎∈𝑅,𝑖是虚数单位)．(1)若𝑧2𝑧1是纯虚数，求|𝑧2|;(2)若𝑧2是实系数一元二次方程𝑥2−𝑝𝑥+3=0的根，求实数𝑎和𝑝的值．17.(本小题15分)如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．(1)求该几何体的体积;(2)求该几何体的表面积．18.(本小题17分)已知平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=6，∠𝐷𝐴𝐵=60∘，点𝐸为线段𝐵𝐶的中点．(1)设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐷=𝑏，用𝑎，𝑏表示𝐴𝐸;(2)求cos∠𝐶𝐴𝐸;第4页，共7页(3)点𝐹在线段𝐴𝐶上，𝐵𝐹⊥𝐴𝐸，求|𝐴𝐹||𝐴𝐶|的值．19.(本小题17分)记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，3𝑐+𝑏sin𝐴=3𝑎cosB.(1)求𝐴;(2)点𝐷在边𝐵𝐶上．(ⅰ)若𝐴𝐷为中线且长为3，𝐴𝐵=2，求△𝐴𝐵𝐶的面积;(ⅱ)若𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，且𝐴𝐷...