湖南省长沙市雅礼集团八校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题命题人：蒋志华审题人：莫俐一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z满足(1i)2z-=，则z=（）A.2i+B.2i-C.1i-D.1i+2.已知向量1,2,2,1ab==-rr.若ababl+^+rrrr，则l=（）A.1B.2C.1-D.2-3.如图，在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABAD^，4AB=，2CD=，22AD=，用斜二测画法画出水平放置的梯形ABCD的直观图为四边形ABCD¢¢¢¢，则四边形ABCD¢¢¢¢的面积为（）A.1B.2C.3D.44.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsinsinabCcbAB-=-+，则A＝（）Aπ6B.π3C.2π3D.π3或2π35.已知平面向量,abrr均为单位向量，且夹角为60°，若向量,,cabrrr共面，且满足1acbc×=×=rrrr，则cr=（）A233B.222C.3D.26.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCDABCD-，上下底面的中心分别为1O和O，若11242ACAC==，侧面与底面所成锐二面角的正切值为2，则正四棱台1111ABCDABCD-的体积为（）的..A.2023B.2823C.2063D.28637.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若23BCAC=，则该八角观音塔的高AB约为（）（31.73»）A.8米B.9米C.40米D.45米8.如图，在长方体1111ABCDABCD-中，1AB=，12AA=，2AD=，E､F分别为棱1AA､1BB的中点.动点P在长方体的表面上，且EPCF^，则点P的轨迹的长度为（）A.26+B.2C.612+D.622+二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若,,abg是三个不同的平面，,,lmn是三条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若abbg^^，，则ag^B.若////abbg，，则//agC.若,mnabÌÌ，且//mn，则//mbD.若,lmln^^，,mnbbÌÌ，且mnA=I，则lb^10.已知复数123i,12izz==-（i为虚数单位），则（）A.13iz=-B.2z的虚部为2i-C.12zz>D.12zz在复平面内对应的点位于第四象限11.若平面向量,2an=r，1,1bm=-r，其中n，RmÎ，则下列说法正确的是（）A.若22,6ab+=rr，则//abrrB.若2ab=-rr，则与br同向的单位向量为22(,)22-C.若1n=，且ar与br的夹角为锐角，则实数m的取值范围为1(,3)(3,)2+¥UD.若ab^rr，则24nmz=+的最小值为4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程220xxa-+=，RaÎ有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为23，则a=________．13.如图，在矩形ABCD中，4AB=，2BC=，点E为BC的中点，点F在边CD上，若4ABAF×=uuuruuur，则AEAF×uuuruuur的值是______．14.在底面为正方形的四棱锥PABCD-中，PD^平面ABCD，5AB=，4PD=，PEPDl=uuruuur，//PB平面EAC，则l=__________，四面体ACDE的外接球的表面积为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ar、br、cr在同一平面内，且1,2a=r，1,3b=-r.（1）若25=rc，且cr与ar共线，求cr的坐标；（2）若向量2ab+rr与向量2akb-rr共线，求k的值，此时2ab+rr与2akb-rr同向还是反向？16.已知复数23zxxxi=--(xÎR)实部与虚部的差为()fx．（1）若()8fx=，且0x>，求复数iz在复平面内对应的点的坐标；（2）当()fx取得最小值时，求复数12zi+的实部．17.如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足BEBF=，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.（1）求证：PDEF^；（2）当13BEBFBC==时，求三棱锥PEFD-的体积.18.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且//OMAC．的（1）求证：平面//MOE平面PAC；（2）求证：^BC平面PAC；（3）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．19.已知ABCV的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3sincosbcCCa++=.（1）求A；（2）设ABCV的外接圆圆心为O，且2BABCBO+=uuuruuuruuur，BOr=uuur（r为定值）.如图，ABP是以AB为半径，BACÐ为圆心角的扇形，点D为BC边上的动点，点E为AC边上的动点，满足DE与BP相切，设BADaÐ=.①当π6a=，2r=时，求DEuuur；②在点D、E的运动过程中，AECDDE×uuuruuuruuur的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.的