第1页，共8页2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高一下学期3月调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量𝑎=(1,2)，𝑏=(𝑥,−1)，若向量𝑎//𝑏，则𝑥=()A.2B.12C.−12D.−22.若cos(𝜋4−𝛼)=45，则sin2𝛼=()A.−725B.1825C.725D.24253.已知向量𝑎，满足|𝑎|=1，|𝑏|=2，𝑎，夹角为3𝜋4，则在𝑎上的投影向量为()A.−2B.2𝑎C.−2𝑎D.4.在▵𝐴𝐵𝐶中，若sin(𝐴−𝐵)+sin𝐶=0，则▵𝐴𝐵𝐶是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.已知sin(𝛼+𝛽)=15，sin(𝛼−𝛽)=13，则tan𝛼tan𝛽=()A.1B.14C.−14D.−46.一艘船在𝐴处，灯塔𝑆在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到𝐵处，从𝐵处看灯塔𝑆位于船南偏西75°方向上．此时灯塔𝑆与船𝐵之间的距离为()海里A.25(6−2)B.25(6+2)C.50(6−2)D.50(6+2)7.如图，在直角▵𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=1,𝐵𝐶=3，点𝐸，𝐹是边𝐵𝐶上两个三等分点，则cos∠𝐸𝐴𝐹=()A.1010B.31010C.55D.2558.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎sin𝐵cos𝐶+𝑐sin𝐵cos𝐴=32𝑏，且𝐵𝐴⋅𝐴𝐶>0，则sin𝐴+sin𝐶的取值范围是()第2页，共8页A.(1,32)B.(32,32)C.(12,32)D.12,32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列化简结果是12的选项为()A.22sin105∘+22cos105∘B.2sin15∘cos15∘C.sin21∘cos81∘−sin69∘cos9∘D.tan22.5∘1−tan22.5∘10.下列命题正确的是()A.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐴<𝐵是sin𝐴<sin𝐵的充要条件B.在▵𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，若𝑎=2,𝐵=𝜋6,𝑏=233，则𝐴=𝜋3C.在▵𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐,𝐴=𝜋3,𝑏=2，若三角形有两解，则𝑎的取值范围为(3,2)D.在▵𝐴𝐵𝐶中，sin𝐴:sin𝐵:sin𝐶=2:3:4，则▵𝐴𝐵𝐶为锐角三角形11.在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝐷,𝑀分别满足𝐴𝐵=3𝐴𝐷,𝐵𝐶=2𝑀𝐶,𝐴𝑀与𝐶𝐷相交于点𝐹，则下列说法中正确的是()A.𝐴𝐹=12𝐴𝑀B.若𝐴𝐵=4,𝐴𝐶=2,∠𝐵𝐴𝐶=𝜋3，则𝐴𝑀=5+23C.𝑆▵𝐴𝐹𝐷:𝑆▵𝑀𝐹𝐶=1:3D.若▵𝐴𝐵𝐶外接圆的半径为2，且𝐵𝐶=2，则𝐴𝐵⋅𝐴𝐶的取值范围为(0,6+43]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量𝑎，𝑏满足|𝑎|=1，|𝑏|=3，且𝑎⋅(𝑎−3𝑏)=3，则𝑎，𝑏夹角的余弦值为．13.cos10∘(1+3tan10∘)1−2𝑐𝑜𝑠265∘=．14.如图所示，已知点𝐺是▵𝐴𝐵𝐶的重心，过点𝐺作直线𝑀𝑁与𝐴𝐵、𝐴𝐶两边分别交于𝑀、𝑁两点，且𝐴𝐵=𝑥𝐴𝑀，𝐴𝐶=𝑦𝐴𝑁，则𝑥+𝑦=；𝑥2𝑥+1+𝑦2𝑦+2的最小值为．第3页，共8页四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知|𝑎|=4，|𝑏|=2，且𝑎与𝑏的夹角为𝜋3．(1)求|𝑎+2𝑏|；(2)若向量2𝑎−𝜆𝑏⊥𝜆𝑎+3𝑏，求实数𝜆的值．16.(本小题12分)已知tan(𝜋4+𝛼)=3,tan(𝛼−𝛽)=13,𝛼∈(−𝜋2,𝜋2),𝛽∈(−𝜋2,𝜋2)．(1)求tan𝛼的值；(2)求12sin𝛼cos𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼的值；(3)求2𝛼−𝛽的值．17.(本小题12分)如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵=𝜋4，𝐷是边𝐵𝐶上一点，𝐴𝐷=10，𝐴𝐶=14，𝐷𝐶=6．(1)求cos∠𝐴𝐷𝐶的值；(2)求𝐴𝐵的长；(3)求▵𝐴𝐵𝐶的面积．18.(本小题12分)已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥⋅sin𝑥+𝜋6−32．(1)求𝑓(𝑥)的周期及在(0,𝜋2)上的值域；(2)已知锐角▵𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=22，且▵𝐴𝐵𝐶的面积为3，𝑓(𝐴)=32，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝑇的长．19.(本小题12分)第4页，共8页我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点𝑇，该点𝑇即称为托里拆利点(以下简称“𝑇点”).通过研究发现三角形中的“𝑇点”满足到三角形三个顶点的距离和𝑇𝐴+𝑇𝐵+𝑇𝐶最小.当▵𝐴𝐵𝐶的三个内角均小于120∘时，使得∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐶𝑂𝐴=120∘的点𝑂即为“𝑇点”；当▵𝐴𝐵𝐶有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为“𝑇点”.试用以上知识解决下面问题：已知...