第1页，共7页2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研（一）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知𝑎=(3,−1),𝑏=(1,𝑚)，若𝑎⊥𝑏，则实数𝑚的值为()A.−3B.3C.−13D.132.若0<𝛼<𝜋，则12−1212+cos𝛼2=()A.sin𝛼4B.−sin𝛼4C.cos𝛼4D.−cos𝛼43.已知𝛼,𝛽∈(0,𝜋)，且tan𝛼=17,cos𝛽=45，则𝛼+𝛽=()A.𝜋4B.3𝜋4C.𝜋6D.2𝜋34.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷=2𝐷𝐵,𝑃为𝐶𝐷上一点，且𝐴𝑃=𝑚𝐴𝐵+12𝐴𝐶，则实数𝑚值为()A.12B.13C.14D.345.已知cos𝜃+sin𝜃+𝜋6=1，则sin𝜃+𝜋3=()A.12B.23C.33D.226.在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵⊥𝐴𝐷,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2,𝐶𝐷=1，点𝑂､𝐸分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，则𝑂𝐸⋅𝑂𝐷=()A.0B.12C.1D.327.已知𝛼∈0,𝜋2,tan2𝛼=cos𝛼2−sin𝛼，则sin𝛼+2𝜋3=()A.15+38B.15−38C.−1−358D.−1+3588.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶,𝐴𝐷=3,𝐴𝐸=6，则𝐴𝐵+𝐴𝐶⋅𝐶𝐵=()A.9B.−9C.6D.−6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是()第2页，共7页A.在▵𝐴𝐵𝐶中，若|𝐴𝐵|=1,|𝐵𝐶|=2,∠𝐴𝐵𝐶=𝜋3，则𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=1B.已知向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶满足条件𝑂𝐴+𝑂𝐵+𝑂𝐶=0,|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=|𝑂𝐶|，则▵𝐴𝐵𝐶为等边三角形C.在▵𝐴𝐵𝐶中，若|𝐶𝐴−𝐶𝐵|=|𝐶𝐴+𝐶𝐵|，则▵𝐴𝐵𝐶为直角三角形D.在▵𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|⋅𝐵𝐶=0，则▵𝐴𝐵𝐶为等腰三角形10.下列计算正确的是()A.cos80∘cos55∘−cos10∘cos35∘=−22B.𝑠𝑖𝑛415∘−𝑐𝑜𝑠415∘=−12C.sin15∘+cos15∘sin15∘−cos15∘=−3D.4cos50∘−tan40∘=311.已知0<𝛼<𝛽<𝜋2,cos(𝛼+𝛽)=−210,tan𝛼tan𝛽=32，则下列结论正确的是()A.sin𝛼sin𝛽=25B.cos(𝛼−𝛽)=22C.tan𝛼+tan𝛽=72D.tan𝛼−tan𝛽=−12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量𝑎在向量𝑏上的投影向量为12𝑏，且|𝑎|=|𝑏|，则向量𝑎与向量𝑏的夹角为．13.若sin𝛼+𝜋3=35，则cos2𝛼−𝜋3=．14.已知cos𝛽=2cos(2𝛼+𝛽)，则tan(𝛼+𝛽)tan𝛼=．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知|𝑎|=3,|𝑏|=1,𝑎−𝑏=(1,3)．(1)求|𝑎+2𝑏|；(2)若𝑎+𝜆𝑏与𝑎+2𝑏的夹角为锐角，求实数𝜆的取值范围．16.(本小题12分)已知sin2𝛼1+sin2𝛼−cos2𝛼=4．(1)求tan𝛼的值；(2)若tan(𝛼−𝛽)=−211，求sin𝛼−𝛽cos𝛼+𝛽的值．17.(本小题12分)第3页，共7页已知向量𝑎=(cos𝑥,3sin𝑥),𝑏=(3sin𝑥,cos𝑥+2sin𝑥)．(1)若3𝑎−𝑏与𝑏共线，𝑥∈𝜋2,𝜋，求sin2𝑥的值；(2)设函数𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏,𝑥∈0,𝜋2，求𝑓(𝑥)的值域．18.(本小题12分)在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵//𝐷𝐶,𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2𝐶𝐷=4,∠𝐷𝐴𝐵=60∘,𝑀为线段𝐵𝐶中点，𝐴𝑀与𝐵𝐷交于点𝑃．(1)求𝐴𝑀⋅𝐵𝐷的值；(2)求∠𝐴𝑃𝐷的余弦值；(3)求▵𝐴𝑃𝐷与△𝐵𝑃𝑀的面积之比．19.(本小题12分)在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐶为钝角，∠𝐴𝐵𝐶=𝜋6，点𝑂为▵𝐴𝐵𝐶所在平面内一点，满足𝑂𝐴+𝑂𝐵⊥𝐴𝐵，𝑂𝐵+𝑂𝐶⊥𝐵𝐶，线段𝑂𝐶交线段𝐴𝐵于点𝑀．(1)若𝑂𝐴⋅𝐴𝐶=−12，求|𝑂𝐴|；(2)在(1)的条件下，求|𝑂𝐴+2𝑂𝐵+𝑂𝐶|的最大值；(3)设𝑂𝑀=𝜆𝑂𝐶(0<𝜆<1)，求|𝐴𝑀||𝐴𝐵|的最小值．第4页，共7页参考答案1.𝐵2.𝐴3.𝐴4.𝐵5.𝐶6.𝐶7.𝐷8.𝐴9.𝐵𝐶𝐷10.𝐴𝐶𝐷11.𝐵𝐶12.𝜋3/60∘13.−725/−0.2814.1315.(1) 𝑎−𝑏=(1,3)，∴𝑎−𝑏2=|𝑎−𝑏|2=(1+3)2=4，又 (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎⋅𝑏+𝑏2=3−2𝑎⋅𝑏+1=4−2𝑎⋅𝑏，∴4−2𝑎⋅𝑏=4，∴𝑎⋅𝑏=0，∴|𝑎+2𝑏|=(𝑎+2𝑏)2=𝑎2+4𝑎⋅𝑏+4𝑏2=7．(2) 𝑎+𝜆𝑏与𝑎+2𝑏的夹角为锐角，∴𝑎+𝜆𝑏⋅𝑎+2𝑏>0，∴𝑎2+2𝜆𝑏2+(2+𝜆)𝑎⋅𝑏>0， 𝑎⋅𝑏=0，|𝑎|=3，|𝑏|=1，∴|𝑎|2+2𝜆|𝑏|2>0，∴3+2𝜆>0，∴𝜆>−32．又𝑎+𝜆𝑏与𝑎+2𝑏不共线，∴1×2≠𝜆，∴𝜆≠2，∴𝜆>−32且𝜆≠2．16.(1) sin2𝛼1+sin2𝛼−cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼2𝑠𝑖𝑛2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=4第5页，共7页∴3cos𝛼+4sin𝛼=0，tan𝛼=−34．(2)因为tan𝛽=tan[𝛼−(𝛼−𝛽)...