第1页，共7页2024-2025学年江苏省徐州市沛县高一下学期第一次学情调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简cos43∘cos13∘+sin43∘sin13∘，得()A.12B.22C.32D.cos56∘2.已知向量→𝑎,→𝑏的夹角为60°，且|→𝑎|=1,|→𝑏|=2，则→𝑎⋅→𝑏=()A.12B.32C.1D.23.已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的三个顶点𝐴(0,2)，𝐵(−1,−2)，𝐶(3,1)，且𝐵𝐶=2𝐴𝐷，则顶点𝐷的坐标为()A.(2,72)B.(2,−12)C.(3,2)D.(1,3)4.已知cos𝛼=45，𝛼∈−𝜋2,0，tan𝛽=12，则tan(𝛼−𝛽)的值为()A.−25B.−1011C.−211D.−25.已知𝑒1,𝑒2是两个不共线的向量𝑎=𝑒1+3𝑒2,𝑏=−2𝑒1+𝑘𝑒2，若𝑎与𝑏是共线向量，则实数𝑘的值为()A.−6B.6C.32D.−326.已知𝐷､𝐸､𝐹分别是▵𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶､𝐶𝐴､𝐴𝐵的中点，且𝐵𝐶=𝑎，𝐶𝐴=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，则下列结论中错误的是()A.𝐸𝐹=12𝑐+12𝑏B.𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=0C.𝐶𝐹=−12𝑎+12𝑏D.𝐴𝐷+𝐵𝐸+𝐶𝐹=07.已知𝜋2<𝛼<𝜋，且cos(𝛼−𝜋6)=−45，则cos𝛼的值为()A.35B.−45C.3−4310D.8.矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=1，𝑀是矩形𝐴𝐵𝐶𝐷内(不含边框)的动点，|𝑀𝐴|=1，则𝑀𝐶⋅𝑀𝐷的最小值为()A.−6B.−6+1C.−6+2D.3+62二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。第2页，共7页9.设𝑎,𝑏,𝑐是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有()A.𝑎⋅𝑐−𝑏⋅𝑐=𝑎−𝑏⋅𝑐B.若𝑎⋅𝑐=𝑏⋅𝑐且𝑐≠0，则𝑎=𝑏C.|𝑎|−|𝑏|<|𝑎−𝑏|D.3𝑎+2𝑏⋅3𝑎−2𝑏=9|𝑎|2−4|𝑏|210.下列计算中正确的是()A.tan𝑥+tan𝑦tan𝑥−tan𝑦=sin(𝑥+𝑦)sin(𝑥−𝑦)B.sin(𝛼+𝛽)<sin𝛼+sin𝛽C.cos(𝛼+𝛽)>cos𝛼+cos𝛽D.𝛼,𝛽都是锐角，cos𝛼=55,sin(𝛼−𝛽)=1010，则cos𝛽=2211.下列关于平面向量的说法中正确的是()A.若𝑎,𝑏,𝑐为非零向量，则𝑏⋅𝑐⋅𝑎−𝑐⋅𝑎⋅𝑏不与𝑐垂直B.𝜆、𝜇为实数，若𝜆𝑎=𝜇𝑏，则𝑎与𝑏共线C.若平面内有四个点𝐴,𝐵,𝐶,𝐷，则必有𝐴𝐶+𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐷D.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，若𝐴𝐵|𝐴𝐵|+𝐴𝐶|𝐴𝐶|=𝜆𝐴𝐷，则𝐵𝐷是𝐵𝐴在𝐵𝐶上的投影向量三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：3−tan15∘1+3tan15∘=．13.设𝜆为实数，已知𝑒为单位向量，向量𝑎的模为2，𝑎=𝜆𝑒，𝜆=．14.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．𝐴𝐵是圆𝑂的一条直径，且|𝐴𝐵|=4．𝐶,𝐷是圆𝑂上的任意两点，|𝐶𝐷|=2，点𝑃在线段𝐶𝐷上，则𝑃𝐴⋅𝑃𝐵的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐷=1，∠𝐵𝐴𝐷=60∘.求：第3页，共7页(1)𝐴𝐵⋅𝐴𝐶的值;(2)cos∠𝐵𝐴𝐶．16.(本小题15分)已知点𝐴(2,3)，𝐵(4,−1)，𝐶(−2,1)，求：(1)𝐶𝐴⋅𝐶𝐵的值；(2)∠𝐴𝐶𝐵的大小；(3)点𝐴到直线𝐵𝐶的距离．17.(本小题15分)已知向量𝑚=(sin𝛼,−1),𝑛=(−3,cos𝛼)，其中𝛼∈𝜋2,𝜋，且𝑚⊥𝑛．(1)求tan𝛼,sin𝛼,cos𝛼的值；(2)若sin(𝛼+𝛽)=−55，且𝛽∈0,𝜋2，求角𝛽的值．18.(本小题17分)如图，某企业的两座建筑物𝐴𝐵，𝐶𝐷的高度分别为20𝑚和40𝑚，其底部𝐵𝐷之间距离为20𝑚.为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物𝐴𝐵的顶部𝐴处安装一投影设备，投影到建筑物𝐶𝐷上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠𝐸𝐴𝐹为45∘，投影幕墙的高度𝐸𝐹越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿𝐴𝐸与水平线𝐴𝐺所成角为𝛼，幕墙的高度𝐸𝐹为𝑦(𝑚)．(1)求𝑦关于𝛼的函数关系式𝑦=𝑓(𝛼)，并求出定义域；(2)当投影的图像最清晰时，求幕墙𝐸𝐹的高度．第4页，共7页19.(本小题17分)(1)如图甲，在三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=9,𝐴𝐶=6,𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为60∘，𝐷为线段𝐵𝐶中点，求线段𝐴𝐷的长度(2)如图乙，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=9,𝐷𝐶=6,𝐴𝐵与𝐷𝐶的夹角为60∘，𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝐵𝐶的中点，求线段𝐸𝐹的长度．(3)如图丙，在四边形中，𝐸,𝐹分别在...