28第5章相似三角形之旋转相似一、单选题1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，在Rt△ABC中，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°45°﹣）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：＝，∴＝＝＝＝．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．2．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①根据四边形ABCD是矩形，BEAC⊥，可得∠ABC=AFB=90°∠，又∠BAF=CAB∠，于是△AEFCAB∽△，故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及ADBC∥，得出△AEFCBF∽△，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；③过D作DMBE∥交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEFCBF∽△得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SAEF△=SABF△，SABF△=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=SACD△-SAEF△=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=SABF△，故④正确．【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com 四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC， BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确； AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝， AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确， DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF， BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确； △AEF∽△CBF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴＝＝，S∴△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，S∴△AEF＝S矩形ABCD，又 S四边形CDEF＝S△ACDS﹣△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，S∴△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题3．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】【解析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANGADM∽，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADGCDE△≌得到∠DAG=DCE∠，从而说明△ADMCHM∽△，得到，最后算出CH的长.【解答】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，GNA=90°∴∠，DN=FN=EN=GN，MAD=GAN ∠∠，∠MDA=GNA=90°∠，ANGADM∴△∽，∴， ，DF=EG=2,∴DN=NG=1∴，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comAD=AB=3 ，∴，解得：DM=，MC=∴，AM=，ADM+MDG=EDG+CDG ∠∠∠∠，ADG=EDC∴∠∠，在△ADG和△CDE中，，ADGCDE∴△△≌...