42第8章几何中的最值问题之和长度有关的最值之多线段的最值一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝4，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（）A．6B．2C．8D．2【答案】D【分析】由正方形的性质得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小， 四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE＝DE． BE＝2，AE＝4，∴AD＝AB＝6，∴DE＝＝2，故PB+PE的最小值是2．故选：D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【点评】本题考查轴对称—最短路线问题，其中涉及正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键2．如图，正方形中，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】B【分析】由正方形的中心对称性质，可得的最小值即是DE的值，再由勾股定理解题计算即可．【解答】连接DE，交AC于点P，连接BD，点B与点D关于AC对称，的长即为的最小值，是BC的中点，，在中，的最小值是．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：B．【点评】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：解：连接AE，如图1， 四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝4∴BF＋DE最小值为4故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．如图，在菱形中，，，，的半径分别为2和1，，，分别是边、和上的动点，则的最小值是（）A．B．2C．3D．【答案】C【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时的最小值，进而求解即可．【解答】解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´， 四边形ABCD是菱形，∴AB=AD， ∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°， ∠BDC=∠ADB=60°，∴∠ADN=60°，∴∠A´DN=60°，∴∠ADB+∠ADA´=180°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴A´，D，B在一条直线上，由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时最小， 在菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD为等边三角形，∴BD=AB=AD=3， ⊙A，⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴的最小值为3．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．5．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，【解答】解：如图， △ABC是等边三角形，∴BA=BC， BD⊥AC，∴AD=DC=3.5cm，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等...