小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题04点到平面的距离(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍..............................................1二、典型题型..............................................2题型一：等体积法求点到平面的距离.......................2题型二：利用向量法求点到平面的距离.....................8三、专项训练.............................................17一、必备秘籍1、等体积法求点到平面的距离（1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法（2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点2、利用向量法求点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、典型题型题型一：等体积法求点到平面的距离1．（23-24高三下·陕西西安·期中）如图，在圆台中，为轴截面，，，为下底面圆周上一点，为下底面圆内一点，垂直下底面圆于点，．(1)求证：平面平面；(2)若为等边三角形，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，即可得到平面，再由圆台的性质得到，即可得到平面，从而得证；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）由利用等体积法求出点到平面的距离．【详解】（1）因为，所以，又平面，平面，所以平面．因为垂直下底面圆于点，垂直下底面圆于点，所以，又平面，平面，故平面．又，，平面，所以平面平面．（2）在等腰梯形中，易知，所以．所以．易知，，所以．设点到平面的距离为，因为，所以，所以，即点到平面的距离为．2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，平面．(1)证明：；(2)若四棱台的体积为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质得到，由菱形的性质得到，即可得到平面，即可得证；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）设，由棱台的体积公式求出，取的中点，连接、，即可得到平面，再由利用等体积法计算可得.【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点，故共面，因为平面，平面，所以，连接，因为底面四边形为菱形，故，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）设，又，所以，则，所以，即，解得，所以，则，取的中点，连接、，则且，所以为平行四边形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为为菱形且，所以为等边三角形，所以，，，所以，所以，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又，设点到平面的距离为，所以，则，解得，即点到平面的距离为.3．（2024·四川·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.(1)证明：平面平面ABCD；(2)求点A到平面SBC的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点，通过证明，即可由线线垂直证明线面垂直；（2）根据，结合的面积，即可由等体积法求得结果.【详解】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，易得，，因为，，所以，，，故，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又，，所以，故，因为平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，又因为平面SCD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面ABCD，且，在中，，所以，故.在中，，，所以SB边上的高，所以.设点A到平面SBC的距离为d，则，即，解得，所以点A到平面SBC的距离为.4．（2024高三·上海·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)...