小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题07坐标法、极化恒等式在平面向量中的应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）题型01坐标法............................................................................................................................................................1题型02极化恒等式....................................................................................................................................................9题型03平面向量中的最值（范围）问题..............................................................................................................13题型01坐标法【解题规律·提分快招】1、建系的常见技巧（1）前言坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。（2）技巧①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等；②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。CBxy(a2,32a)(a,0)AθCBxy(bcosθ，bsinθ)(a,0)AxyD(0,b)C(a,a)B(a,0)AxyD(0，asinθ)C(a-acosθ，asinθ)B(a,0)A【典例训练】一、单选题1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（）A．0B．C．D．【答案】C小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】令，，进而有，应用向量数量积的坐标表示得，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值.【详解】不妨令，，又，则，所以，当时，的最小值为.故选：C2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com结合已知得，B(−2,0)，，半圆弧的方程为：，设，则，，，由得：，解得：，所以，因为在上，所以，又，则可设，，，将，代入整理得：，由得，所以，，故的取值范围是.故选：D.3．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com满足，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意建立直角坐标系，设P(x,y)，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值.【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，设P(x,y),.所以,,,,所以,因为,即,故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动，所以的最大值为.故选：D.二、填空题4．（2024高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，可得，因为，则...