小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点02不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【新高考专用】一元二次不等式是高考中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是高考常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，高考复习过程中要注重知识与方法的灵活运用.【知识点1不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x[∈m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x[∈m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x[∈m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x[∈m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x[∈m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x[∈m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】【例1】（2024·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(−∞,−2)B．(−∞,−4)C．(−4,4)D．(−2,2)【解题思路】由题知4k2−16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2−2kx+4>0恒成立，所以，4k2−16<0，解得−2<k<2，所以，k的取值范围是(−2,2)故选：D.【变式1-1】（2024·山东潍坊·一模）“b∈(−2,2)”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com条件【解题思路】由不等式x2−bx+1≥0恒成立，可求得−2≤b≤2，即可得出答案.【解答过程】因为∀x∈R，x2−bx+1≥0成立，则Δ=(−b)2−4≤0，即−2≤b≤2.所以，“b∈(−2,2)”是“∀x∈R，x2−bx+1≥0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）对于任意的x∈R，不等式mx2+(m−1)x<1−m恒成立，则m的取值范围是（）A．m<0B．m<−13C．−13<m<0D．m>0【解题思路】按照m>0，m=0，m<0分类讨论不等式恒成立时m的取值范围即可.【解答过程】由题得mx2+(m−1)x+m−1<0恒成立，当m>0时，二次函数y=mx2+(m−1)x+m−1开口向上，显然mx2+(m−1)x+m−1<0不能恒成立；当m=0时，得−x−1<0⇒x>−1，故mx2+(m−1)x+m−1<0不能恒成立；当m<0时，要使mx2+(m−1)x+m−1<0，则(m−1)2−4m(m−1)<0⇒m<−13或m>1（舍）.综上所述，m<−13.故选：B.【变式1-3】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）若关于x的不等式(a−1)x2+(a−1)x−1<0对一切实数x都成立，则a的取值范围为（）A．(−3,1)B．(−3,1)C．(−∞,−3)∪(1,+∞)D．(−∞,−3)∪[1,+∞)【解题思路】根据题意，分a−1=0与a...