第六章实数6.4《实数》章末复习（能力提升）【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a(0a).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题例1、一个正数的x的平方根是2a3﹣与5a﹣，求a和x的值．【思路点拨】根据平方根的定义得出2a3+5a=0﹣﹣，进而求出a的值，即可得出x的值．【答案与解析】解： 一个正数的x的平方根是2a3﹣与5a﹣，2a3+5a=0∴﹣﹣，解得：a=2﹣，2a3=7∴﹣﹣，x=∴（﹣7）2=49．【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．举一反三：【变式1】已知322xxy，求xy的平方根。【答案】解：由题意得：2020xx解得x＝2∴y＝3，239xy，xy的平方根为±3.【变式2】若373x和334y互为相反数,试求的值。【答案】解： 373x和334y互为相反数,∴3x－7＋3y＋4＝0∴3（）＝3，＝1.例2、已知M是满足不等式63a的所有整数的和，N是满足不等式2237x的最大整数．求M＋N的平方根．【答案与解析】解： 36a的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M＝－1＋1＋0＋2＝2 2237x≈2，N是满足不等式2237x的最大整数．∴N＝2∴M＋N＝4，M＋N的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M、N的值，再根据平方根的定义求出M＋N的平方根．类型二、与实数有关的问题例3、已知是10的整数部分，是它的小数部分，求323ab的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算10的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.【答案与解析】解： 是10的整数部分，是它的小数部分，3104∴3,103ab∴2323331033271017ab.【总结升华】可用夹挤法来确定，即看10介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：【变式】若k＜＜k+1（k是整数），则k=（）A．6B．7C．8D．9【答案】D．解： k＜＜k+1（k是...