小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第07讲相似三角形中“一线三等角”问题（核心考点讲与练）【基础知识】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。一般类型：基本类型：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】1．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是2．【分析】过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．想办法求出AE，EC即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AD⊥直线b于D，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，作EG⊥直线c于G交直线a于F．则有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，∴EF＝AE＝，∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，∴AC＝＝＝2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的性质的运用，解答时构造相似三角形是关键．2．（2020秋•冠县期末）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明： △ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC， ∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，∴＝，设CD＝x，则BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．3.（2018浦东新区二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在DE上CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．（1）求证：GF＝GD；（2）联结AF，求证：AF⊥DE．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com整体分析：根据等角的余角相等得到即可证明.联结CG.证明△DAE≌△CDG,得到.进而得到，根据等边对等角得到根据三角形的内角和可以求出∠AFD=90°，即可证明.满分解答： 四边形是正方形，∴, FG⊥FC，∴∠GFC=90°, ∴∠CDF=∠CFD,∴∠GFC-∠CFD=∠ADC-∠CDE，即∠GFD=∠GDF.∴GF=GD.联结CG. ∴点在线段的中垂线上,∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG=90°， ∠CDF+∠ADE=90°，∴∠DCG=∠ADE四边形是正方形,∴AD=DC，∠DAE=∠CDG=90°，∴△DAE≌△CDG,.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴.点是边的中点，点是边的中点，∴,∴ ∴∴∠AFD=90°，即AF⊥DE.点睛：属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，考查知识点比较多，难度不大，熟练掌握各个知识点是解题的关键.4.已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． AB⊥BC，...