小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第07讲基本不等式1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念；2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程；3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式；4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。一、基本不等式的概念1、两个不等式（1）重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、（2）基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是当且仅当“时取等号”.（3）我们称a+b2为的算术平均数，称√ab为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由公式和引申出的常用结论①（同号）；②（异号）；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com③或二、基本不等式的证明1、法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2、法二：代数法 ，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.三、基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为a+b2，它大于或等于，即a+b2≥√ab，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com四、利用基本不等式求最值1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.2、积定和最小，和定积最大（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.考点一：对基本不等式的理解例1．不等式中，等号成立的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确.故选：BC.考点二：利用基本不等式比较大小例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】、为互不相等的正实数，则，所以，，时，，所以．故选：A．【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．【答案】/【解析】，，，则，，，综上所述：最大的一个是.故答案为：考点三：利用基本不等式求和的最小值例3．若，则的最值情况是（）A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2【答案】B【解析】若，则，当且仅当即等号成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.【变式训练】若，且，求的最小值．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．考点四：利用基本不等式求积的最大值例4．已知，则当取最大值时，的值为（）A...