小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第10讲函数的单调性与最大（小）值1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征；2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明；3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。一、函数的单调性1、单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势3、函数的单调区间：若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D⊆定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用，分开，不能用“”“∪，可以用和来表示；”“”二、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．三、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论④判断：根据定义做出结论。四、函数单调性的性质若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：（1）f(x)与f(x)+C（C为常数）具有相同的单调性.（2）f(x)与−f(x)的单调性相反.（3）当a>0时，af(x)与f(x)单调性相同；当a<0时，af(x)与f(x)单调性相反.（4）若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单调性.（5）若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性.（6）f(x)与g(x)的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.五、常见简单函数的单调性函数单调性一次函数y=kx+b(k≠0)当k>0时，在R上单调递增；当k<0时，在R上单调递减.反比例函数y=kx(k≠0)当k>0时，在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减；当k<0时，在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当a>0时，在(−∞,−b2a]上单调递减，在(−b2a,+∞)上单调递增；当a<0时，在(−∞,−b2a]上单调递增，在(−b2a,+∞)上单调递减.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点一：单调性定义的理解例1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．是函数的增区间B．是函数的减区间C．函数在上是增函数D．函数在上是减函数【答案】C【解析】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上是减函数，D正确，故选：C【变式训练】设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？【答案】见解析【解析】取，则在上是减函数，在上也是...