小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型........................................................1题型一：插入新数列构成等差.......................................1题型二：插入新数列构成等比.......................................5题型三：插入新数混合.............................................7二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练..................11一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由①得时②小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．【答案】(1)(2)是数列的第8项．【详解】（1）设数列的公差为．由题意可知，，，于是．因为，所以，所以．所以．所以数列的通项公式是．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．令，解得．所以是数列的第8项．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.【答案】(1)(2)6【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，因为，所以，解得或（舍去），因为，所以，即，解得或（舍去），所以；（2）由题意可得，，则，故数列单调递增，不难发现，故满足题意的m的最小值为6.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com对一切恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为q，当时，有，则①，当时，，两式相减可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比数列的通项公式为；（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，所以则，设，则是递增数列，当n为偶数时，恒成立，即，所以；当n为奇函数时，恒成立，即，所以；综上所述，的取值范围是．例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求及数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)【详解】（1）由题意，当时，，解得，当时，，即，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，.（2）由（1）可得，，，在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，则有，∴，∴，∴，，两式相减得，∴.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A．30B...