小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三之比等于相的三角之比．边应个内(×)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(√)(3)在△ABC的六元素中，已知任意三元素可求其他元素．个个(×)(4)当b2＋c2－a2>0，时△ABC角三角形．为锐(×)教材改编题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于()A.B.C.D.答案C解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的角，内所以∠BAC＝.2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于()A．8B．4C．D．答案A解析由S△ABC＝acsinB＝×2c×＝4，得c＝8.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sinC＝＝＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简](2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思维升华解三角形，如果式子中含有角的余弦或的二次式，要考用余弦定理；如果时边虑式子中含有角的正弦或的一次式，考用正弦定理，以上特征都不明，要考边则虑显时则虑两定理都有可能用到．个跟踪训练1(2022·全乙卷国)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．(1)证明方法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，合正弦定理＝＝，结可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*)．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由余弦定理可得accosB＝，abcosC＝，2bccosA＝b2＋c2－a2，上述三式代入将(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的...