1/28专题06离心率一．焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。技巧导图技巧详讲2/282.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。二．双曲线的渐进线与离心率关系直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：（2）两个交点在双曲线的同一支:（3）两个交点在双曲线的左支:3/28（4）两个交点在双曲线的右支:三．焦点弦与离心率关系e|cosθ|=|λ−1λ+1|，则有e|cosθ|=|λ−1λ+1|(|AB|=154为直线与焦点所在轴的夹角)。技巧1焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】（1）C（2）A【解析】（1）不妨设代入双曲线方程得，例题举证4/28.故答案选：C（2），（当且仅当时取等号），，由椭圆定义知：，又，，，，又，离心率的取值范围为.故选：.【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】中，所以故选：B2．（2020·全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若5/28，，则椭圆的离心率（）A．B．C．D．【答案】A【解析】点是以、为焦点的椭圆上一点，，，，，可得，，由勾股定理可得，即，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（）6/28A．B．C．D．0【答案】A【解析】椭圆的离心率为，即.，故，当时等号成立.根据余弦定理：.故选：.技巧2点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A．B．C．D．【答案】（1）B（2）D7/28【解析】（1）设，，由直线的斜率为可得，由线段的中点为可得，，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率.故选：B.（2）由题意方程可知，，设,则,，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得．故选D．8/28【举一反三】1．已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【答案】B【解析】设、，则，，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.2．（2020·全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴9/28，∴，即，∴，即，又，∴，故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知，，，，，由椭圆定义可知，.故选：C.技巧3渐近线与离心率【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D10/28【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得，圆的一条切线与双曲线有两个交点，所以，所以，所以.故选：D.【举一反三】1．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是，故选：A．2．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支11/28有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．(1,2),C．D．【答案】A【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故选．3．（...