小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题17圆过定点模型【方法总结】1．圆过定点问题的一般设问方式(1)证明以PQ为直径的圆恒过x或y轴上某定点M(m，0)或M(0，n)；(2)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)；(3)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m，n)；(4)以PQ为直径的圆是否恒过定点M？若是，求出该定点M的坐标；若不是，请说明理由．2．圆过定点问题的一般解法(1)向量法：基本思想是根据直径所对的圆周角是直角，即MP·MQ＝0．这是解决圆过定点的主要方法．一般步骤：①设出M(m，n)及相关点的坐标或相关直线的方程；②根据题设条件求出点P与点Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；③求出MP与MQ的坐标，并根据MP·MQ＝0，建立方程f(m，n，t)＝0，并整理成tf(m，n)＋g(m，n)＝0；④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点．(2)方程法：基本思想是根据已知条件求出圆的方程，即f(x，y，k)＝0．这种方法用的很少．一般步骤：①设出相关点的坐标或相关直线的方程；②根据题设条件求出点P与点Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；③求出圆的方程f(x，y，t)＝0，并整理成tf(x，y)＋g(x，y)＝0；④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点．(3)赋值法：基本思想是从特殊到一般，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例题选讲】[例1](2019·北京)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．xyBNMAO[规范解答](1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2．所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)向量法抛物线C的焦点为F(0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得x2＋4kx－4＝0．设M，N，则x1x2＝－4．直线OM的方程为y＝x．令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－．同理得点B的横坐标xB＝－．设点D(0，n)，则DA＝，DB＝，DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2．令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则n＝1或n＝－3．综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．[例2]已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点Q(1，)，且离心率e＝．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，直线l：x＝4与直线PA，PB分别交于M，N两点，又点E(7，0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．[规范解答](1)由，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为：＋＝1．(2)向量法设点P(x0，y0)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，由椭圆的第三定义知k1k2＝e2－1＝－，又PA：y＝k1(x＋2)，令x＝4，得M(4，6k1)，同理：PB：y＝k2(x－2)，令x＝4，得N(4，2k2)，则kEMkEN＝(－)(－)＝－1，过E，M，N三点的圆的直径为MN．设圆过定点R(m，0)，则RM·RN＝0，因为RM＝(4－m，6k1)，RN＝(4－m，2k2)．所以RM·RN＝(4－m)2＋12k1k2＝0，即(4－m)2＝9，解得m＝1或m＝7(舍)．故经过E，M，N三点的圆是以MN为直径，过x轴上不同于点E的定点R(1，0)．[例3]已知A(－2，0)，B(2，0)，点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为－．(1)求动点C的轨迹方程；(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P，与直线x＝4相交于点Q，判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[规范解答](1)设C(x，y)．由题意得kAC·kBC＝·＝－(y≠0)．整理，得＋＝1(y≠0)．故动点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)方法一：向量法易知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m．联立方程组消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．依题意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2．设x1，x2为方程...