小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21数量积、角度及参数型定值问题题型一数量积型定值问题【例题选讲】[例1]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0)，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得MA·MB为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．[规范解答](1)由题意可知，c＝1，又e＝＝，解得a＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1．(2)若直线不l垂直于x轴，可设l的方程为y＝k(x－1)．联立椭圆方程＋y2＝1，化为(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．设M(t，0)，则MA＝(x1－t，y1)，MB＝(x2－t，y2)，MA·MB＝(x1－t，y1)(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(x1－t)(x2－t)＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－(t＋k2)(x1＋x2)＋t2＋k2＝(1＋k2)－(t＋k2)＋t2＋k2＝．要使得MA·MB＝λ(λ为常数)，只要＝λ，即(2t2－4t＋1－2λ)k2＋(t2－2－λ)＝0．对于任意实数k，要使上式恒成立，只要，解得．若直线l垂直于x轴，其方程为x＝1，此时，直线l与椭圆两交点为A(1，)，B(1，－)，取点M(，0)，有MA＝(－，)，MB＝(－，－)，MA·MB＝(－)(－)＋(－)＝－＝λ．综上所述，过定点F(1，0)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M(，0)，使得MA·MB＝－．[例2]已知O为坐标原点，椭圆C：＋y2＝1上一点E在第一象限，若|OE|＝．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求点E的坐标；(2)椭圆C两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，过点M(0，－1)的直线l交椭圆C于点D，交x轴于点P，若直线AD与直线MB相交于点Q，求证：OP·OQ为定值．[规范解答](1)设E(x0，y0)(x0>0，y0>0)，因为|OE|＝，所以＝①，又因为点E在椭圆上，所以＋y02＝1②，由①②解得：，所以E的坐标为(1，)；(2)设点D(x1，y1)，则直线DA的方程为y＝(x＋2)③，直线BM的方程为y＝x－1④，由③④解得xQ＝，又直线DM的方程为y＝x－1，令y＝0，解得xP＝，所以OP·OQ＝·＝，又＋y12＝1，所以OP·OQ＝＝4．[例3]椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当|CD|＝时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：OP·OQ为定值．[规范解答](1)因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，所以a＝，椭圆方程为为＋x2＝1．直线l垂直于x轴时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，|CD|＝·|x1－x2|＝·＝＝，解得k＝±．所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1．(2)直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，所以P点坐标为(－，0)．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝－，直线AC的方程为y＝(x＋1)，直线BD的方程为y＝(x－1)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将两直线方程联立，消去y得＝，因为－1＜x1，x2＜1，所以与异号．()2＝＝·＝＝＝()2．又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－·∴与y1y2异号，与同号，＝，解得x＝－k，因此Q点坐标为(－k，y0)．OP·OQ＝(－，0)(－k，y0)＝1，故OP·OQ为定值．[例4]如图，点M在椭圆＋＝1，(0<b<)上，且位于第一象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，F2，M的圆与y轴交于点P，Q(P在Q的上方)，|OP|·|OQ|＝1．(1)求b的值；(2)直线PM与直线x＝2交于点N，试问，在x轴上是否存在定点T，使得TM·TN为定值？若存在，求出点T的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．[规范解答](1)设圆心(0，t)．则圆的方程为：x2＋(y－t)2＝c2＋t2．令x＝0，得：y2－2ty－c2＝0(*)，∴|OP|·|OQ|＝|yP·yQ|＝c2＝1．∴b＝a2－c2＝1．(2)设M(x0，y0)，x0>0，y0>0将M(x0，y0)代入圆与椭圆的方程，可得．x02＋y02－2ty0－1＝0，x02＋2y02＝2，消去x0，得...