小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题21双变量不含参不等式证明方法之换元法【方法总结】双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数．整体换元法：若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量．若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体（比如，，，)等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为一元不等式．[例1]已知函数f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求证：当n＞m＞0时，lnn－lnm＞－．解析(1)因为f(x)＝ax2＋xlnx，所以f′(x)＝2ax＋lnx＋1，因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1．(2)要证lnn－lnm＞－，即证ln＞－，只需证ln－＋＞0．令＝x，构造函数g(x)＝lnx－＋x(x≥1)，则g′(x)＝＋＋1．因为x∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．由已知n＞m＞0，得＞1，所以g＞g(1)＝0，即证得ln－＋＞0成立，所以命题得证．总结提升对“待证不等式”等价变形为“ln－＋＞0”后，观察可知，对“”进行换元，变为“lnx－＋x＞0”，构造函数“g(x)＝lnx－＋x(x≥1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算．[例2]已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0，1)上均单调且单调性相反，求实数m的取值范围；(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．解析(1)f′(x)＝－＝＞0，所以f(x)在(0，1)上单调递增．由已知f(x)，g(x)在(0，1)上均单调且单调性相反，得g(x)在(0，1)上单调递减．所以g′(x)＝lnx＋1－2mx≤0在(0，1)上恒成立，即2m≥，令φ(x)＝(x∈(0，1))，φ′(x)＝＞0，所以φ(x)在(0，1)上单调递增，φ(x)＜φ(1)＝1，所以2m≥1，即m≥．(2)由(1)f(x)＝lnx－在(0，1)上单调递增，f(x)＝lnx－＜f(1)＝0，即lnx＜，令x＝∈(0，1)得ln＜＝， ln＜0，∴＜．在(1)中，令m＝，由g(x)在(0，1)上均单调递减得g(x)＞g(1)＝0，所以xlnx－(x2－1)＞0，即lnx＞，取x＝∈(0，1)得ln＞，即lna－lnb＞，由lna－lnb＜0得：＜，综上：＜＜．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com总结提升正两个数和的平均定：对数义对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．[例3]已知，其中图像在处的切线平行于轴．(1)确定与的关系；(2)设斜率为的直线与的图像交于，求证：．思维引导(2)，所证不等式为即，进而可将视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式．解析(1)，，依题意可得：．(2)依题意得，故所证不等式等价于：．令，则只需证：．先证右边不等式：，令，，在单调递减，．即．对于左边不等式：．令，则，在单调递增，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com总结提升(1)在证明不等式时，由于独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，所以考虑构造表达式：使得不等式以为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式．(2)所证不等式为轮换对称式时，若独立取值，可对定序，从而增加一个可操作的条件．[例4]已知函数．(1)求的单调区间和极值；(2)设，且，证明：．思维引导所证不等式等价于证，轮换对称式可设，进而对不等式进行变形，在考虑能否换元减少变量．解析(1)定义域为，，令，解得：．∴的单调增区间是，单调减区间是，的极小值为，无极大值．(2)不妨设，．，（由于定序，去分母避免了分类讨论），（观察两边同时除以，即可构造出关于的不等式）两边同除以得，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则，即证：．令，．令，，（再次利用整体换元），在上单调递减，所以．即，即恒成立，∴在上是减函数，所以．∴得证．所以成立．总结提升(1)本题考验不等式的变形，对于不等式而言，观察到每一项具备齐次的特征（不包括对数），所以同除以，结果为或者1，观...