小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题九三角形中的最值(范围)问题【方法总结】三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)已知角或的系，然后把角或作自量，所求量与边关边为变(式子)的作函值为数值，化函系，原化求函的域．里要利用件中的范限制，以及三角形自身转为数关将问题转为数值问题这条围范限制，要量把角或的范围尽边围(也就是函的定域数义)找完善，避免果的范大．结围过考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](2020·浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．解析(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sinA>0，故sinB＝，由意得题B＝．(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是角三角形，得锐A∈．由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝sinA＋cosA＋＝sin＋∈．故cosA＋cosB＋cosC的取范是值围．[例2](2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac．(1)求B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值．解析(1)由a2＋c2＝b2＋ac，得a2＋c2－b2＝ac．由余弦定理，得cosB＝＝＝．又0＜B＜π，所以B＝．(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A,0＜A＜．所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin．因为0＜A＜，所以＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝，时cosA＋cosC取得最大值1．[例3](2014·西陕)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)若a，b，c成等差数列，证明sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．解析(1) a，b，c成等差列，数∴a＋c＝2b．由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB． sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2) a，b，c成等比列数，∴b2＝ac．由余弦定理得，cosB＝＝≥＝，且当仅当a＝c等成立．时号∴cosB的最小．值为[例4]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)求sin2A＋sin的取范．值围解析(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，求得cosB＝，B＝．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，求得ac＝40，所以△ABC的面积S＝acsinB＝10．(2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈，令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈．【对点训练】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．1．解析(1)由已知，根据正弦定理得，2a2＝(2a＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，所以A＝．(2)由(1)得，sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝cosB＋sinB＝sin(＋B)，故当B＝，时sinB＋sinC取最大值1．2．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．(1)求角A的大小；(2)求cosC－sinB的取值范围．2．解析(1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c．即b2＋c2－a2＝bc．∴cosA＝＝＝．又 A三角形角，为内∴A＝．(2) B＋C＝π，∴C＝π－B． △ABC角三角形，为锐∴∴<B<．又 cosC－sinB＝cos－sinB＝－cosB＋sinB＝sin， <B<，∴－<B－<．∴－<sin<．即cosC－sinB的取范值围为．3．(2016山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．3．解析由意知，题2(＋)＝＋，化得简2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即2sin(A＋B)＝sinA＋sin...