小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题五切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)ABCDO类型ⅠABCDO1O类型ⅡABCDO1ODO2类型ⅢABCDO1ORrmh－mRdd类型Ⅳ【例题选讲】[例](1)已知在三棱锥P－ABC中，VPABC＝，∠APC＝，∠BPC＝，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P－ABC外接球的体积为________．答案解析如，取图PC的中点O，接连AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，∴O是三棱锥P－ABC外接球的球心，易知，PB＝R，BC＝R， ∠APC＝，PA⊥AC，O为PC的中点，∴AO⊥PC，又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VPABC＝VAPBC＝××PB×BC×AO＝××R×R×R＝，解得R＝2，∴三棱锥P－ABC外接球的体积V＝πR3＝．PBCAO(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．答案解析在四面体ABCD中， AB＝AD＝2，∠BAD＝60˚，∴△ABD正三角形，为设BD的中点为M，接连AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD． △CBD直角三角形，为∴其外接的心是斜圆圆边BD的中点M，由球的性知，四面体质ABCD外接球的球心必在段线AM上，又△ABD正三角形，为∴球心是△ABD的中心，外接球的半则径为×2×小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com＝，∴四面体ABCD外接球的体积为×π×()3＝．(3)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为()A．B．5πC．6πD．答案D解析如，取图BD中点M，接连AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂，线过Q作平面CBD的垂，垂相交于点线两线O，点则O外接球为的球心，如，其中图OQ＝，CQ＝，接连OC，外接球的半则径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D．(4)已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．答案解析由题意知的中点为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内．根据球的性质，球心一定在垂线上，球心一定在平面内，且球心也是外接圆的圆心．在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A－DECB的外接球的表面积为________．BACDEBACDE答案10π解析取DE的中点M，BC的中点N，接连MN(略图)，由意知，题MN⊥平面ADE，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接的心是点圆圆M，四棱锥A－DECB的外接球的球心在直线MN上，又等腰梯形DECB的外接的心在圆圆MN上，所以四棱锥A－DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接的心．接圆圆连BE，易知△BEC是角三角形，所以等腰梯形钝DECB的外接的圆圆心在等腰梯形DECB的外部．四设棱锥A－DECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，解得则R2＝，故四棱锥A－DECB的外接球的表面积S＝4πR2＝10π．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comBACDEMNO【对点训练】1．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．1．答案C解析将边长为1的正方形，沿对角线把折起，使平面平...