小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题十五函数的零点问题(2)考点一复杂函数(方程)零点(解)的个数判断【方法总结】复杂函数(方程)的零点的个数(方程的解)的判断多采用数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．但其中一个函数往往比较复杂，可能涉及到函数的奇偶性周期性等函数的性质，需要有强大的画图能力．【例题选讲】[例1](1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝lnx－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析当x>0时，f(x)＝lnx－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0，1)时f′(x)>0，此时f(x)单调增；递x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)．因此单调递减，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定在义R上的奇函作出函数数y＝f(x)与y＝ex的大致象如所示图图，察到函观数y＝f(x)与y＝ex的象有交点图两个，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e自然的底为对数数)有2零点．个(2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A．9B．10C．11D．18答案B解析在坐平面出标内画y＝f(x)与y＝|lgx|的大致象如，由象可知，共有图图图它们10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点是个数10．(3)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析原方程等价于y＝f(x)与y＝log8(x＋2)的象的交点图个数问题，由f(x＋2)＝f(2－x)，可知f(x)的象于图关x＝2对称，再根据f(x)是偶函一性数这质，可由f(x)在[－2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的象图，而作出进f(x)在(－2，6)上的象图，如所示图．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com再在同一坐系下标，出画y＝log8(x＋2)的象图，注意其象点图过(6，1)，由可知图，象在两图区间(－2，6)有三交点内个，而原方程有三根从个，故选C．(4)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有()A．3个B．2个C．1个D．0个答案B解析由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2．在同一坐系中作出标y＝f(x)与y＝g(x)的象图(如图)．由于函象有两数图2交点．所以函个数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)有内2零点．个(5)若函数f(x)的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作(A，B)，规定(A，B)和(B，A)是同一对“优美点”．已知f(x)＝则函数f(x)的图象上共存在“优美点”()A．14对B．3对C．5对D．7对答案D解析与y＝－lg(－x)的象于原点的函是图关对称数y＝lgx，函数f(x)的象上的美点图优的，即方程对数|cosx|＝lgx(x>0)的解的，也是函个数数y＝|cosx|与y＝lgx的象的交点，如，作图个数图函数y＝|cosx|与y＝lgx的象，由可知，共有图图7交点，函个数f(x)的象上存在图“美点优”共有7．对故选D．xy3π7π25π23π2１π2O【对点训练】1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}1．答案D解析求出当x＜0时f(x)的解析式，分解方程即可．令类讨论x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x．因为f(x)是定在义R上的奇函，所以数f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x．所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3．令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3．当x＜0小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com时，g(x)＝－x2－4x＋3．令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－．所以函数g(x)有三零点，故其集合个为{－2－，1，3}．xy–1–2–3–4–5–6–71234567–1–2–3–4–...