专题14利用空间向量解决立体几何中的探索性问题【方法总结】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直；另一类是探究线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．利用空间向量法解决立体几何中的探索性问题的思路：(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足位置关系、数量关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．注意：在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．【例题选讲】考点一探究线面的位置关系[例1]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．(1)求证：AC⊥BC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1．[例2]如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．[例3]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．[例4]在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．[例5]如图，正三角形ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．[例6](2019·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且＝．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【对点训练】1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．2．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC＝60°．(1)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；(2)已知点D满足BD＝BA＋BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C?若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．3．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com存在，试说明理由．4．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E为棱AA1上的点，且AE＝．(1)求证：BE⊥平面ACB1；(2)求二面角D1－AC－B1的余弦值；(3)在棱A1B1上是否存在点F，使得直线DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的长；若不存在，请说明理由．5．在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点．(1)若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；(2)是否存在点E，使得平面CDE⊥...