小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题06椭圆模型椭圆秒杀小题常用结论(1)椭圆定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．如图(1)图(1)图(2)图(3)图(4)(2)点P(x0，y0)和椭圆＋＝1(a＞b＞0)的关系P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1；P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1；P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1．(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|＝，通是最短的焦点弦．焦点最弦径过长．原点最弦为长轴过长为长轴长2a，最短弦为短轴长2b．图(5)图(6)图(7)(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中如图(6)：①△PF1F2的周长为2(a＋c)．②S＝b2tan．(5)如图(7)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大．(6)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．(7)如图(8)设P，A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则kPA·kPB＝－＝e2－1．图(8)图(9)(8)如图(9)设A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝－＝e2－1．【例题选讲】[例1](1)(2019·全国Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的焦点，两个M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．答案(3，)解析设F1的左焦点，分析可知为椭圆M在以F1心、焦距半的上，即在为圆为径长圆圆(x＋4)2＋y2＝64上．因点为M在＋＝椭圆1上，所以立方程可得解得又因点联为M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．(2)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为()A．2x＋9y－10＝0B．2x－9y－10＝0C．2x＋9y＋10＝0D．2x－9y＋10＝0小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＋＝则1，＋＝1，式作差化整理得＝－两并简×，而x1＋x2＝－1，y1＋y2＝2，所以＝－×＝，直线l的方程为y－1＝，即2x－9y＋10＝0.可知符合意．故经验证题选D．(3)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为A、B，直线AF2与该椭圆交于A、M两点．若∠F1AF2＝120°，则直线BM的斜率为()A．B．C．D．答案B解析由意，＋＝题椭圆1(a>b>0)，且足满∠F1AF2＝120°，如所示，图在则△AF2O中，|OA|＝b，|AF2|＝a，且∠OAF2＝60°，所以a＝2b，不妨设b＝1，则a＝2，所以c＝＝，的方程＋则椭圆为y2＝1，又由A(0,1)，F2(，0)，所以kAF2＝－，所以直线AF2的方程为y＝－x＋1，立方程，整理得联组7x2－8x＝0，解得x＝0或x＝，把x＝代入直线y＝－x＋1，解得y＝－，即M，又由点B(0，－1)，所以BM的斜率为kBM＝＝，故选B．(4)已知P为椭圆C：＋＝1上的一点，个动F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________．答案解析法一：因点为P在上，所以有椭圆|PF1|＋|PF2|＝4，又因为|PF1|·|PF2|＝，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝，所以有sin∠F1PF2＝，所以△F1PF2的面积为S＝××＝×2×yp，解得yp＝，因点为P在上，所以椭圆xp＝．所以点的的切方程＋＝过该椭圆线为1，即为x＋y＝．所以原点O到直的距离线为d＝＝．法二：设P(m，n)，切方程＋＝则线为1，即3mx＋4ny－12＝0．所以原点O到切的距离该线d＝．因点为P(m，n)在上，所以＋＝椭圆1，所以有n2＝3－，所以d＝．因为|PF1||PF2|＝，所以有＝，即有＝4－m2＝，解得16－m2＝，所以d＝＝．(5)已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________．答案2解析方法一特殊化，设MN⊥x，轴则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2．方法二由意知题F(－1，0)，直当线MN的斜率不存在，时|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，＝则2；直当线MN的斜率存在，直时设线MN的斜率为k，则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，立方联程整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8...