小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题36双变量不等式恒成立与能成立问题考点探析考点一单函数双任意型【例题选讲】[例1]已知函数f(x)＝＋ax＋b的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线l：2x－4y＋3＝0平行．(1)求证：函数y＝f(x)在区间(1，e)上存在最大值；(2)记函数g(x)＝xf(x)＋c，若g(x)≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈恒成立，求实数c的取值范围．解析(1)由题意得f′(x)＝＋a．因为函数图象在点A处的切线与直线l平行，且l的斜率为，所以f′(1)＝，即1＋a＝，所以a＝－．所以f′(x)＝－＝，所以f′(1)＝＞0，f′(e)＝－＜0．因为y＝2－2lnx－x2在(1，e)上连续，所以f′(x)在区间(1，e)上存在一个零点，设为x0，则x0∈(1，e)，且f′(x0)＝0．当x∈(1，x0)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，x0)上单调递增；当x∈(x0，e)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(x0，e)上单调递减．所以当x＝x0时，函数y＝f(x)取得最大值．故函数y＝f(x)在区间(1，e)上存在最大值．(2)法一因为g(x)＝lnx－x2＋bx＋c≤0对一切x∈(0，＋∞)，b∈恒成立，所以c≤x2－bx－lnx．记h1(x)＝x2－bx－lnx(x＞0)，则c≤h1(x)min．h′1(x)＝x－b－．令h′1(x)＝0，得x2－bx－1＝0，所以x1＝＜0(舍去)，x2＝．因为b∈，所以x2＝∈(1，2)．当0＜x＜x2时，h′1(x)＜0，h1(x)单调递减；当x＞x2时，h′1(x)＞0，h1(x)单调递增．所以h1(x)min＝h1(x2)＝x－bx2－lnx2＝x＋1－x－lnx2＝－x－lnx2＋1．记h2(x)＝－x2－lnx＋1．因为h2(x)在(1，2)上单调递减，所以h2(x)＞h2(2)＝－1－ln2．所以c≤－1－ln2，故c的取值范围是(－∞，－1－ln2]．法二因为g(x)＝lnx－x2＋bx＋c≤0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，所以c≤x2－bx－lnx．设h1(b)＝－xb＋x2－lnx，因为x∈(0，＋∞)，则函数h1(b)在上为减函数，所以h1(b)＞h＝x2－x－lnx，则对∀x∈(0，＋∞)，c≤x2－x－lnx恒成立，设h2(x)＝x2－x－lnx，则h′2(x)＝x－－＝＝，令h′2(x)＝0，则x＝2，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，则x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－－ln2，则c≤－1－ln2，故c的取值范围是(－∞，－1－ln2]．[例2]已知函数f(x)＝(logax)2＋x－lnx(a>1)．(1)求证：函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；(2)若关于x的方程|f(x)－t|＝1在(0，＋∞)上有三个零点，求实数t的值；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(3)若对任意的x1，x2∈[a－1，a]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立(e为自然对数的底数)，求实数a的取值范围．解析(1)因为函数f(x)＝(logax)2＋x－lnx，所以f′(x)＝1－＋2logax·．因为a>1，x>1，所以f′(x)＝1－＋2logax·>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2)因为当a>1，0<x<1时，分别有1－<0，2logax·<0，所以f′(x)<0，结合(1)可得f(x)min＝f(1)，所以t－1＝f(1)＝1，故t＝2．(3)由(2)可知，函数f(x)在[a－1，1]上单调递减，在(1，a]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝max{f(a－1)，f(a)}．f(a)－f(a－1)＝a－a－1－2lna，令g(x)＝x－x－1－2lnx(x>1)，则g′(x)＝1＋x－2－＝≥0，所以g(a)>g(1)＝0，即f(a)－f(a－1)>0，所以f(x)max＝f(a)，所以问题等价于∀x1，x2∈[a－1，a]，|f(x1)－f(x2)|max＝f(a)－f(1)＝a－lna≤e－1．由h(x)＝x－lnx的单调性，且a>1，解得1<a≤e，所以实数a的取值范围为(1，e]．[例3]已知函数f(x)＝x2－ax＋2lnx．(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若x1∈，且f(x1)≥t＋f(x2)恒成立，求实数t的取值范围．思路(1)转化为恒不等式问题，即f′(x)＝2x－a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，然后用分离参数＋最值分析法解决．(2)分离参数t，即t≤f(x1)－f(x2)，然后用条件f(x)有两个极值点x1，x2，进行消元，转化为一元不等式恒成立问题处理．解析(1)因为函数y＝f(x)在定义域上单调递增，所以f′(x)≥0，即2x－a＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤2x＋(x∈(0，＋∞))．而2x＋≥2＝4，所以a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．(2)因为f′(x)＝(x＞0)，由题意可得x1，x2为方...