小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题14错位相减法求和【基本知识】错位相减法求和1．错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．如：已知un＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋abn－1＋bn(a>0，b>0，n∈N*)．(1)当a＝2，b＝3时，求un；(2)若a＝b，求数列{un}的前n项和Sn．解析(1)当a＝2，b＝3时，un＝2n＋2n－1·3＋2n－2·32＋…＋2·3n－1＋3n(n∈N*)，两边除以2n，得＝1＋＋2＋…＋n－1＋n＝＝＝－2，所以un＝3n＋1－2n＋1．(2)若a＝b，则un＝(n＋1)an，所以Sn＝2a＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an，①当a＝1时，Sn＝2＋3＋…＋(n＋1)＝；当a>0，a≠1时，在①的两边同乘以a，得aSn＝2a2＋3a3＋4a4＋…＋(n＋1)an＋1，与①式作差，得(1－a)Sn＝2a＋a2＋a3＋…＋an－(n＋1)an＋1＝a＋－(n＋1)an＋1，所以Sn＝＋－．综上，Sn＝【基本题型】1．等差(比)数列＋错位相减法型[例1]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且＝＋5．(1)求an；(2)若bn＝an·4求数列{bn}的前n项的和Tn．解析(1)设等差数列{an}的公差为d，因为＝＋5，所以－＝5，所以a10－a5＝10，所以5d＝10，解得d＝2．所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n；(2)由(1)知，an＝2n，所以Sn＝＝n2＋n．所以bn＝an·4＝2n·4＝2n·2n＋1＝n·2n＋2，所以Tn＝1×23＋2×24＋2×25＋…＋n·2n＋2①，所以2Tn＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n－1)·2n＋2＋n·2n＋3②，①－②，得－Tn＝23＋24＋…＋2n＋2－n×2n＋3＝－n×2n＋3＝2n＋3－8－n×2n＋3所以Tn＝(n－1)×2n＋3＋8．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[例2]已知各项均为正数的等比数列{an}，满足a1＝1，且－＝．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列的前n项和Tn．解析(1)由已知－＝得：－＝，又a1＝1，∴q＝2或q＝－1(舍去)，∴an＝2n－1．(2)bn＝log22n＝n，＝Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋两式相减得：Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－∴Tn＝4－．[例3]已知等比数列{an}的前n项和Sn满足4S5＝3S4＋S6，且a3＝9．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn．解析(1)设数列{an}的公比为q，由4S5＝3S4＋S6，得S6－S5＝3S5－3S4，即a6＝3a5，∴q＝3，∴an＝9·3n－3＝3n－1．(2)bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·3n－1，∴Tn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，∴3Tn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，∴－2Tn＝1＋2·31＋2·32＋…＋2·3n－1－(2n－1)·3n＝－2＋(2－2n)·3n，∴Tn＝1－＝(n－1)·3n＋1．[例4]已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an＋2log2bn＝－1．(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．解析(1)设等差数列{an}的公差为d，则d>0，由a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d分别加上1，1，3后成等比数列，得(2＋d)2＝2(4＋2d)，解得d＝2(舍负)，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．又因为an＋2log2bn＝－1，所以log2bn＝－n，则bn＝．(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)·，则Tn＝＋＋＋…＋，①，Tn＝＋＋＋…＋，②由①－②，得Tn＝＋2×－．∴Tn＝＋2×－，∴Tn＝1＋2－－＝3－＝3－．[例5](2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．解析(1)设{an}的公比为q， a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0， q≠1，∴q＝－2...