小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题02数列中的最值问题考点一数列的最大(小)项【基本方法】求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式an研究数列的单调性，若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．若不单调利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项；【基本题型】[例1](1)数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是____________．答案30解析an＝－n2＋11n＝－2＋， n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30．(2)数列{an}的通项an＝，列则数{an}中的最大项是()A．3B．19C．D．答案C解析令f(x)＝x＋(x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥6，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝，所以≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝最大．(3)若数列{an}中，an＝，n∈N*，则数列{an}中的项的最小值为________．答案4解析an＋1－an＝－＝，当n≥2，时an＋1－an>0，即an＋1>an，当n＝1，时a2－a1<0，∴数列{an}中，从a2始是增的，又开递a2<a1，∴{an}中最小是项a2＝4．(4)已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为()A．B．C．D．答案解析法一(作差比法较)：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an．所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．法二(作商比法较)：＝＝，令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2．又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．(5)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________．答案4解析由题意得所以由k∈N*可得k＝4．(6)数列{an}的通项为an＝(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是________．答案[9，12]解析当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15．当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋． a5是{an}中的最大值，∴解得9≤a≤12．∴a的取值范围是[9，12]．(7)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为()A．B．4－1C．D．答案C解析由an＋1－an＝2n，可得an＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com上，在单调递减(，＋∞)上增，又单调递n∈N*，且＝<＝，故选C．[例2]已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解析(1) an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．(2)an＝1＋＝1＋． 对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5<<6，∴－10<a<－8．故a的取值范围为(－10，－8)．[例3]Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝－5an，求数列{bn}中最小的项．解析(1)对任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，两式相减得an＝n，因此数列{an}的通项公式为an＝n．(2)由(1)得bn＝2n－5n，则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5．当n≤2时，bn＋1－bn<0，即bn＋1<bn，∴b1>b2>b3；当n≥3时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn，∴b3<b4<b5<…，所以数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7．【对点精练】1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项1．答案B解析 Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝...