专题四平面向量的夹角平面向量的夹角公式(1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]．(2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]．考点一平面向量的夹角问题【方法总结】求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式cos＜a，b＞＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步：根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角．【例题选讲】[例1](1)(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为__________．(2)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()A．B．C．D．(3)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．120°(4)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A．B．C．D．(5)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．(6)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A．B．C．D．(7)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与a＋b的夹角为()A．B．C．D．π(8)(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos<a，a＋b>等于()A．－B．－C．D．(9)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．(10)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()A．B．－C．D．－(11)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2BE＝BC，设向量AE，BD的夹角为θ，则cosθ＝________．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(12)(2020·浙江)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤，设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是________．【对点训练】1．(2016·全国Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°2．已知向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．3．已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．4．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，且|a＋b|＝|2a－b|，则a与b的夹角为()A．B．C．D．5．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A．B．C．D．6．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°7．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．B．C．D．π8．已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是()A．B．C．D．9．不共线向量a，b满足|a|＝2|b|，且b2＝a·b，则a与b－a的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°10．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________．11．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________．12．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A．B．C．－D．－13．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，BC＝6，CA＝，若AB·AE＋AC·AF＝2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________．14．△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则向量a，b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°15．(2014·全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．16．在△ABC中，(AB－3AC)⊥CB，则角A的最大值为________．考点二平面向量的夹角的应用【方法总结】(1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线．(2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线．研究向量的夹角应注意“共起点”，两个非零共线向量的夹角可能是0或π．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向...