小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题5用构造辅助数列通项公式考点一由an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)求an型【基本方法】已知an＋1＝Aan＋B求an的方法1递推关系形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0，A，B为常数)可化为an＋1＋＝A(p≠1)的形式，利用是以A为公比的等比数列求解．已知an＋1＝Aan＋B求an的方法2对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝A(an－p)，即{an－p}是公比为A的等比数列．【基本题型】[例1](1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝2·3n－1－1解析 an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1．(2)已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝·3n－1－解析因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，所以3an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝3an＋1，所以an＋1＋＝3，所以数列是公比为3的等比数列，首项为a1＋＝3＋＝，所以an＋＝·3n－1，所以an＝·3n－1－．[例2](1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则数列{an}的通项公式为________．答案2－n－1解析设f(x)＝x＋1，令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不点，动∴an＋1－2＝(an－2)，∴列数{an－2}是以－1首，以公比的等比列，为项为数∴an－2＝－1×n－1，∴an＝2－n－1，n∈N*．(2)已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，则数列{an}的通项公式为________．答案－＋·n－1解析设f(x)＝－x－2，由f(x)＝x，得x＝－．∴an＋1＋＝－，又a1＝4，∴是以首为，以－公比的等比列，项为数∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N*．【对点精练】1．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________．1．答案2n＋1－3解析设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3．故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2．所以{bn}是以4为首项，2为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com公比的等比数列．∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．2．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝________．2．答案2n－1解析由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1．3．已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．3．答案an＝×4n－1－解析因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0．所以an＋1＋＝4．因为a1＝3，所以a1＋＝．故数列是首项为，公比为4的等比数列．所以an＋＝×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝×4n－1－．考点二由an＋1＝pan＋f(n)求an型【基本方法】已知an＋1＝pan＋f(n)求an的方法递推关系形如an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常数)的数列{an}的通项公式，可先在两边同除以f(n)后再用累加法求得．【基本题型】[例3](1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，则通项公式an＝________．答案n·2n解析将式子an＋1＝2an＋2n＋1两边同除以2n＋1得，＝＋1，所以是首项、公差均为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n．(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________．答案B解析由题意得an＝an－1＋n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．又a1＝1，∴31·a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3...