小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题19单变量不含参不等式证明方法之切线放缩如图，y＝x＋1是y＝ex在(0，1)处的切线，有ex≥x＋1恒成立；y＝x－1是y＝lnx在(1，0)处的切线，有lnx≤x－1恒成立．在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于ex，lnx有关的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果．由ex≥x＋1引出的放：缩①ex－1≥x(用x－1替换x，切点坐是横标x＝1)，通常表达为ex≥ex．②ex＋a≥x＋a＋1(用x＋a替换x，切点坐是横标x＝－a)，平移模型，找到切点是．关键③xex≥x＋lnx＋1(用x＋lnx替换x，切点坐足横标满x＋lnx＝0)，常的指跨改面模型，切见对阶头换线的方程是按照指函予的．数数给④ex≥x2>x2(x>0)，通常有(x>0)的造模型．构xy1图①y=xy=ex1Oxy－a图②y=x+a+1y=ex+aOxy图③y=x+lnx()+1y=x∙exOxy2y=x2图④y=e2∙x24y=exO由lnx≤x－1(也可以记为lnex≤x，切点为(1，0))引出的放：缩最常的就是见ln(x＋1)≤x，由lnx<x－1向左平移1位度理解，或者个单长来将ex≥x＋1取而两边对数．来①lnx≤，表示原点的过f(x)＝lnx的切线为y＝．②lnx≥1－，或者记为xlnx≥x－1．③lnx≤x2－x(由lnx≤x－1及x－1≤x2－x，切点坐是横标x＝1)，或者记为≤x－1．④lnx≤(x2－1)，即在点(1，0)三曲相切．处线xyy=xee图①y=lnx()Oxyy=11x1图②y=lnx()Oxyy=x2x1图③y=lnx()Oxyy=x1y=12∙x21()1图④y=lnx()O【例题选讲】[例1]求证：当x>0时，不等式2－lnx＋>0恒成立．【思维引导】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由常用不等式ex≥x＋1，得≥x－，即2≥2x－3，于是可得到这道题的解题思路．解析令f(x)＝2－2x＋3(x>0)，则f′(x)＝2－2(x>0)，由f′＝0，可知f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以f(x)≥f＝0，所以2≥2x－3①．令g(x)＝2x－3－lnx＋(x>0)，则g′(x)＝2－－＝(x>0)，易知g(x)在(0，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以2x－3≥lnx－(当且仅当x＝1时等号成立)②．因为①和②中的等号不能同时成立，所以由①和②，得2>lnx－，所以2－lnx＋>0．xyy=lnx()1xy=2∙x3y=2∙ex52O[例2]已知函数为自然对数的底数）．(1)求函数的最小值；(2)若，证明：．解析(1)，，令，得．当时，，当时，．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，有最小值1．(2)由(1)知，对任意实数均有，即．令，，2，，则，．即．，．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，．[例3]已知函数f(x)＝lnx－x＋1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1<<x；【思维引导】对数切线放缩(1)利用导数研究函数单调性(2)将不等式进行变形进行对数切线放缩换元，用替换x1x解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－1＝(x>0)，可知f(x)的单调增区间是(0，1]，单调减区间是[1，＋∞)．(2)由(1)可知，当x>0时，f(x)≤f(1)＝0(当且仅当x＝1时，等号成立)，所以当x>0且x≠1时，有f(x)<0，即lnx<x－1，故当x∈(1，＋∞)时，有故1<<x．[例4]已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：；(3)求证：对任意的且，都有：．(其中为自然对数的底数)．解析(1)函数的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增，②当时，令，解得．当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．(2)当时，，要证明，即证，即．即．设则，令得，．当时，，当时，．所以为极大值点，也为最大值点小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以(1)，即．故．(3)证明：由(2)，（当且仅当时等号成立）令，则，所以，即，所以．【对点精练】1．已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2．1．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f′(x)＝－2a2x＋a＝＝－，当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单...