小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题16数列的奇偶项讨论问题【基本知识】数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)通项公式分奇、偶项有不同表达式；(3)含有(－1)n的类型；(4)已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题．考点一an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)类型【基本题型】[例1]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n．(1)求数列{an}的前100项和S100；(2)求数列{an}的通项公式．解析(1) a1＝1，an＋1＋an＝4n，∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×502＝10000．(2)由题意，an＋1＋an＝4n，①，an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3．当n为奇数时，an＝a1＋×4＝2n－1，当n为偶数时，an＝a2＋×4＝2n－1．综上所述，an＝2n－1．[例2]在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝n，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*．(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求Sn．解析(1)因为an·an＋1＝n，所以an＋1·an＋2＝n＋1，所以＝，即an＋2＝an．因为bn＝a2n＋a2n－1，所以＝＝＝，所以数列{bn}是公比为的等比数列．因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝×n－1＝，n∈N*．(2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列，所以a2n－1＝n－1，a2n＝n，所以an＝(3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又S2n－1＝S2n－a2n＝3－－＝3－，所以Sn＝【对点精练】1．已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn．1．解析(1)若数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．由an＋1＋an＝4n－3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－．(2)由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)．两式相减，得an＋2－an＝4．所以数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以an＝①当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－2＋an－1)＋an＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝；②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝．∴Sn＝2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝pn＋1，其中p为常数．(1)若a1，a2，a4成等比数列，求p的值；(2)若p＝1，求数列{an}的前n项和Sn．2．解析(1)由an＋an＋1＝pn＋1，得a1＋a2＝p＋1，a2＋a3＝2p＋1，a3＋a4＝3p＋1，所以a2＝p，a3＝p＋1，a4＝2p．又因为a1，a2，a4成等比数列，所以a＝a1a4，即p2＝2p，又因为p≠0，所以p＝2．(2)当p＝1时，an－1＋an＝n(n>1，n∈N)，当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4＋…＋n＝＝；当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋3＋5＋…＋n＝＝，综上，Sn＝3．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N*.(1)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，0<φ<π)在x＝取得最大处值a4＋1，求函数f(x)在区间上的域；值(2)求数列{an}的通项公式．3．解析(1)因为anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，所以＝2，又因为a1＝1，所以a1a2＝21，即a2＝2，所以a3＝2，a4＝4，所以A＝a4＋1＝5，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以f(x)＝5sin(2x＋φ)．又因为x＝时，f(x)＝5，所以sin＝1，且0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝5sin．又因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，所以函数f(x)在上的值域为.(2)由(1)得a1＝1，a2＝2，＝2，所以当n为奇数时，an＝a1·2＝2；当n为偶数时，an＝a2·2＝2．所以数列{...