小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题08等差数列的判定与证明【基本方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一列不是等差列，只需判定存在三不成等差列即可．个数数则连续项数【基本题型】[例1](1)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是()A．{an＋1－an}是等差数列B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列D．{an＋bn}是等差数列答案D解析对于A，因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2．所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；对于B，因为bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；对于C，因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．(2)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列答案C解析令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6．即{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(3)(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是()A．{|an|}B．{an＋1－an}C．{pan＋q}(p，q为常数)D．{2an＋n}答案BCD解析数列－1，1，3是等差数列，取绝对值后：1，1，3不是等差数列，A不成立．若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立．若{an}的公差为d，则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立．(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立．(4)已知数列{an}的前n项和是Sn，则下列四个命题中，错误的是()A．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列是公差的等差列为数B．若数列是公差为d的等差数列，则数列{an}是公差为2d的等差数列C．若数列{an}是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列D．若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列答案D解析A项，若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com列，且通项为＝a1＋(n－1)，即数列是公差为的等差数列，故说法正确；B项，由题意得＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋n(n－1)d，则an＝Sn－Sn－1＝a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为2d的等差数列，故说法正确；C项，若等差数列{an}的公差为d，则数列的奇数项、偶数项都是公差为2d的等差数列，故说法正确；D项，若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选D．(5)已知无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则()A．{an}可能为等差数列B．{an}可能为等比数列C．{an}中一定存在连续的三项构成等差数列D．{an}中一定存在连续的三项构成等比数列答案ABC解析解法一：因为Sn＝an2＋bn＋c，所以Sn－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{an}为等差数列，则a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当c＝0时，{an}为等差数列，所以A正确；在an＝2na－a＋b(n≥2)中，当a＝0，b≠0时，an＝b(n≥2)，若数列{an}为等比数列，则a1＝b＋c＝b，c＝0，验证知，当a＝...