小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b24﹣ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x22﹣x3|﹣的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(1﹣，0)和(3，0)；②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；③当x＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】由可得函数图象的对称轴为直线x=1，与坐标轴交点坐标为，和，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当或，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线有4个公共点，则的取值范围是，故④正确．【详解】解：如图：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，∴函数图象的对称轴为直线x=1，与坐标轴交点坐标为，和，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线有4个公共点，则的取值范围是，故④正确．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数，的定义，掌握它与之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，将x=-2代入y=2x得y=-4，将x=4代入y=2x得y=8，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com设A（-2，-4），B（4，8），如图，联立方程x2-x+c=2x，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴，解得c＞-4，∴-4＜c＜满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax22ax+a+2﹣（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜D．﹣2≤a＜0小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax22ax+a+2﹣（a＜0）化为顶点式为y＝a（x1﹣）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示： 当x＝0时，y＝a+2∴0≤a+2＜1当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0即：，解得﹣2≤a＜﹣1故选B．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a、b，定义一种运算“”为：，有下列命题：①；②方程的根为：；③不等式...