小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题22.4二次函数的综合【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．【解题过程】解：（1） 四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），∴AD＝AB＝5，B（4，0），∴OA＝1，∴A（﹣1，0），小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，∴{−16+4b+c=−5−1−b+c=0，解得{b=2c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q， PQ⊥y轴，∴AO∥PQ， AO＝PQ＝1，∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP＝OQ，∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小， E，C关于对称轴x＝1对称，∴EQ＝CQ，∴EQ+OQ＝CQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长， C（4，﹣5），∴OC=❑√42+52=❑√41，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴EQ+PQ+AP的最小值为❑√41+1，即EQ+PQ+AP的最小值为❑√41+1；（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，∴{−1−2=1+x−5=m+y4+m2=9+(m+5)2，解得{x=−4y=−2m=−3，∴M（1，﹣3）；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，∴{−1+1=−2+xm=y−51+25=9+(m+5)2，解得{x=2y=❑√17m=−5+❑√17或{x=2y=−❑√17m=−5−❑√17，∴M（1，﹣5+❑√17）或（1，﹣5−❑√17）；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，∴{−1+x=−2+1y=m−51+25=4+m2，解得{x=0y=❑√22−5m=❑√22或{x=0y=−5−❑√22m=−❑√22，∴M（1，❑√22）或（1，−❑√22）；综上所述：M点坐标为（1，﹣3），(1，❑√22)，(1，−❑√22)，(1，−5+❑√17)，(1，−5−❑√17)．1．（2022•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com点，则c的取值范围是（）A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916【思路点拨】先通过待定系数法将AB所在直线解析式求出，然后通过数形结合方法，求出抛物线与直线相切及抛物线经过点A时c的值求解．【解题过程】解：设AB所在直线为y＝kx+b，将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得{k=12b=12，∴y¿12x+12，如图，当抛物线与线段AB相切时，令12x+12=¿x2+c，整理得x2−12x−12+¿c＝0，∴Δ＝（−12）24﹣（−12+¿c）＝0，解得c¿916，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comc减小，抛物线向下移动，当抛物线经过点A（﹣1，0）时，将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，解得c＝﹣1，∴﹣1≤c≤916满足题意．故选：C．2．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x¿32；②抛物线的最大值为98；③∠ACB＝90°；④OP的最小值为4❑√55．则正确的结论为（）A．①②④B．①②C．①②③D．①③④【思路点拨】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，−12t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，小学、初中、高...