相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，是的中位线，那么在与中，，，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．1相似三角形的判定（一）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲ECBAD如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．常见模型如下：2C1B1A1CBA【例1】根据下列条件判定与是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1），，；（2），，，．【难度】★【答案】（1）相似，；（2）相似，．【解析】（1）根据三角形内角和，可得，又，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定；（2）根据三角形内角和，可得，又，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和进行求解．【例2】如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】，，．【解析】由，可得：，根据相似三角形预备定理，可得：，，进而可得：，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．【例3】如图，，那么图中相似的三角形有哪几对？【难度】★【答案】，，，．【解析】根据，同时有公共角必相等，根据相似三角形判定定理1，可得，，；同时3例题解析FEDCBA321EDCBA由，可得：，进而，又，根据相似三角形判定定理1，可得：．【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏．【例4】如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．【难度】★【答案】略．【解析】证明：，，，即．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．【例5】如图，在中，，于点，且，求的值．【难度】★【答案】．【解析】，即，又，可得．．又，，．，设，则，代入可得：．．【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型．4EDCBACDBA【例6】如图，中，，是中点，交延长线于点，则相似于．【难度】★★【答案】．【解析】，即，又，即，．又为斜边中点，．，由，．【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形．【例7】如图，，于点，，，求的长．【难度】★★【答案】．【解析】，，，．根据面积法，可知，解得．又，，可得．，代入可得：．，，．代入得：．【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似三角形中可将对应边之比转化为同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两两相似．5EDCBAEDCBAEMDCBA【例8】如图，，，点在线段上运动，，，，若与相似，求的值．【难度】★★【答案】或2．【解析】（1）时，则应有．由，可得：；（2）时，则应有．由，代入得：，解得：．【总结】解决三...